非线性回归方法的应用与比较

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1、万方数据第39卷第10期数学的实践与认识2009年5月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYV01．39No．10May．2009非线性回归方法的应用与比较谢兰1，高东红2(1．清华大学医学院，北京100084)(2．北京大学医学部生物数学与生物统计学教研室．北京100083)摘要：比较了非线性回归3种方法的数学原理：曲线直线化方法、非线性最小二乘方法、近似非线性法．说明了用方差分析确定回归模型的统计学意义、用决定系数Rz描述曲线的拟合效果的理论依据．通过对同一问题用3种方法分析得出结论：非线性回归与近似非线性拟合方

2、法决定系数相近(0．9966与0．9965)，而曲线直线化决定系数为0．9738．因为近似非线性拟合方法无需选初值．建议应用近似非线性拟合方法．关键词：非线性回归，决定系数#t／J,--乘法；曲线直线化；近似非线性1概述100多年前，有位英国遗传学家(Galton)注意到当父亲身高很高时，他的儿子一般不会比父亲更高．同样如果父亲很矮。他的儿子也一般不会比父亲更矮，而会向一般人的均值靠拢．当时这位英国遗传学家将这现象称为回归，现在将这概念引伸到随机变量有向回归线集中的趋势．即观察值不是全落在回归线上，而是散布在回归线周围．但离回归线越近，观

3、察值越多，偏离较远的观察值极少，这种不完全呈函数关系，但又有一定数量的关系的现象称回归．回归分析就是确定变量之间的相互联系。相互制约的关系．有线性回归趋势的两个变量间的关系可以用直线回归分析．但在医学上，大量资料中的两个变量间的关系并非直线关系。例如细菌生长曲线、药物动力学、毒物剂量与动物死亡率的关系等等．如果用线性描述将丢失大量信息，甚至得出错误结论，这种情况下，对资料的分析需要采用曲线回归方法，即根据实验资料找到能描述变量关系的曲线回归方程．我们将这种过程称为非线性回归或曲线拟合．、2非线性回归的步骤要进行完整的非线性回归分析，通常有

4、3个步骤：首先。是通过适当的方法，找到可以描述曲线特征的方程，即对所得资料进行曲线拟合；其次，对曲线回归进行假设检验，假设检验的方法有两种：回归模型的方差分析和系数b的t检验．通常我们采用对回归模型的方差分析来确定回归模型的统计学意义，然后计算决定系数R2来定量描述曲线的拟合效果．因尺2是Pearson相关系数，．的平方，对r的检验等价于对系数b的t检验[4]，已经方差分析所以不用对决定系数尺2作假设检验．收稿日期：2007—02—04基金项目：北京大学985—2、-；v，～程～一一工一，．‘-t^^●●‘-万方数据118数学的实践与认识

5、39卷3常用的曲线拟合方法常用的曲线拟合方法大致分为三类．第一类，针对可被直线化的曲线，可以采用曲线直线化的方法，再按直线回归方法进行分析；第二类，非线性最小二乘；第三类，近似非线性．下面通过具体的例子来比较三种拟合方法．1．曲线直线化实例某疾病防治站重复治疗钩虫病病人的次数(z)和复查阳性率(y)资料列于表1的第1、2列，已初步用散点图显示Y与z的指数曲线关系(即z与InY近似呈直线关系)，试作指数曲线拟合n]．已知X与InY近似呈直线关系，做变换Y=InY，以y和z作散点图，如图l所示，呈直线趋势．1ny图1钩虫病治疗次数和复查阳性率

6、曲线直线化后的散点图作y关于z的线性回归，得方程：y一一o．5062x+4．5261方差分析表明回归具有统计学意义(见表1)．裹l例用曲线直线化回归后的方差分析R2=0．973803用曲线直线化，在拟合过程中只是InY与In多的离差平方和∑(1nY—In多)2最小，而不是Y与多的离差平方和芝：(y一多)2最小，因此需要更合适的方法来改善曲线拟合效果．2．非线性最小二乘法回归用非线性最小二乘法回归包含两个基本环节：先根据所给资料点的变化趋势与问题的实际背景确定函数驴一{矽(z)，矿(z)，⋯，矿(z))，即确定用来拟合未知函数厂(z)的拟合

7、函万方数据10期谢兰，等：非线性回归方法的应用与比较119图2曲线直线化方法所得钩虫病治疗次数和复查阳性率曲线数所具有的形式妒(。)=6，矿(z)+6：矿(z)+⋯+6。矿(z)；然后按最小二乘原则“使残差平方和最小”求最tb--乘解伊。(z)，即确定其系数6f(点=0，1，⋯，咒)．按最,j、---乘原则求解，因其残差平方和为：月5(61，b2，⋯，b。)=≥：(yf—f(xf，b1，b2，⋯，bn))2f≈l3C这将导致求解非线性方程组：署一0，J一1，2，⋯，咒．我们把这类问题称为非线性最小二乘问题．对于非线性最小二乘问题，为了避免

8、求解非线性方程组，通常是寻求各种可能的转化将其化为线性问题来处理瞳]．常用的牛顿一高斯法(Gauss—NewtonMethod)也称线性化方法，即用泰勒级数展开的线性项来近似非线性模型，然后再