1按定积分定义证明

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1、第九章定积分P.204习题b∫kdx=k(b−a)a1．按定积分定义证明：证明对[a,b]的任一分割T：a=x0

2、[0,1]的定积分存在。现在将ii−1ix=[,][0,1]nini=0,1,⋯,nξ等分，其分点为：，，i取为小区间nn的右端点，于是Riemann和为nnni311311221∑f(ξi)∆xi=∑()=4∑i=4⋅n(n+1)→(n→∞)i=1i=1nnni=1n44，所以113∫xdx=041x∫edx0⑵xf(x)=e[0,1]f(x)[0,1]解因为在连续，故在的定积分存在。现在将ii−1ix=[,][0,1]nini=0,1,⋯,nξ等分，其分点为：，，i取为小区间nn的右端点，1nni11ni1en(1−e)∑f(

3、ξ)∆x=∑en=∑en=⋅→e−1(n→∞)ii1i=1i=1nni=1n1−en于是Riemann和为-1-1nxlim=−11lim=−1n→∞1exdx=e−1（因为x→01−ex，所以1−en），从而∫0bx∫edx⑶axf(x)=e[a,b]f(x)[a,b][a,b]n解因在连续，故在可积，将等分，其分ix=a+(b−a)ii=0,1,⋯,nξ点为：n，，i取为小区间i−1i[a+(b−a),a+(b−a)]nn的右端点，于是Riemann和nninb−aa+(b−a)b−aab−ai∑f(ξ)∆x=∑en=e∑en

4、iii=1i=1nni=1b−anb−aab−ae(1−e)ba=e⋅→e−eb−an1−en，(n→∞)bxba∫edx=e−ea所以bdx⑷∫ax2（0

5、1．计算下列定积分：112∫(2x+3)dx=(x+3x)=4⑴00-2-2211−x1−(1+x)+2121π=dx=(−1+)dx=(−x+2arctanx)=−1∫01+x2∫01+x2∫01+x202⑵e2dxe2dlnx2e∫e=∫e=ln

6、lnx

7、e=ln2⑶xlnxlnx⑷x−xx−2x11e−e1e(1−e)11−2xx1x−x1−1∫0dx=∫0dx=∫0(1−e)de=(e+e)=(e+e)−1222220πππ3tan2xdx=3(sec2x−1)dx=(tanx−x)3=3−π∫0∫00⑸3991244∫(

8、x+)dx=(xx+2x)=4x33⑹44dx∫0⑺1+x4dx22tdt21∫0=∫0=2∫0(1−)dx=4−2ln3解令x=t代入得，1+x1+t1+tee12e2132∫1(lnx)dx=∫1(lnx)dlnx=(lnx)=x313ee⑻e2．利用定积分求极限：1331123lim(1+2+⋯+n)=lim(+()+⋯+1)⑴n→∞n4n→∞nn3nni31131=lim∑()=∫xdx=n→∞i=1nn04⎡111⎤limn⎢2+2+⋯+2⎥n→∞⎣(n+1)(n+2)(n+n)⎦⑵⎡⎤1⎢111⎥=lim⎢++⋯+⎥n

9、→∞n⎢1222n2⎥(1+)(1+)(1+)⎢⎣nnn⎥⎦n11111=lim=dx=n→∞∑in∫0(1+x)22i=1(1+)2n-3-⎛111⎞limn⎜++⋯+⎟2222⑶n→∞⎝n+1n+22n⎠⎛⎞⎜⎟n11111111π=lim⎜++⋯+⎟=lim==n→∞n⎜12n⎟n→∞∑in∫01+x241+1+()21+()2i=11+()2⎜2⎟⎝nnn⎠nn1⎛π2πn−1⎞iπ112lim⎜sin+sin+⋯+sinπ⎟=lim∑sin=∫sinπxdx=⑷n→∞n⎝nnn⎠n→∞i=1nn0πf[a,b]F[a,b

10、]3．证明：若在上可积，在上连续，且除有限个点外有bF′(x)=f(x)∫af(x)dx=F(b)−F(a)，则有y,y,⋯,yF′(x)=f(x)[a,b]证设除有限个点：12m外有.对于的任一分割y,y,⋯,yT′，设T是分割T′添加分点12m