定数截断寿命试验中污染数据的统计分析.pdf

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1、第2期郑祖康等：定数截断寿命试验中污染数据的统计分析125文章编号：0427-710（42001）02-0125-09卡定数截断寿命试验中污染数据的统计分析郑祖康，郎春梅，张宏鹏（复旦大学管理学院，上海200433）摘要：研究了定数截断寿命试验中污染数据的统计分析问题.设寿命变量服从指数分布，在指数污染或正态污染下，分别讨论了总试验时间的分布，找到了近似公式，并用随机模拟给予证实.关键词：定数截断；截断数据；混合分布；污染数据；污染系数中图分类号：0211.67文献标识码：A定数截断法是寿命试验中常用的方法.设X1，X2，⋯，XI是

2、元件的寿命随机变量，它们相互独立具有相同的分布函数.这些元件同时开始试验，并在试验前预先确定一个正整数r，r0是参数.可以证明2!2［1］1T服从自由度为2r

3、的X-分布.但是在实际问题中元件寿命的分布往往不是一个单纯的指数分布，而要受到其他随机因素的干扰.常见的有两种情况.模型!元件试测受到同类分布的随机变量的污染和干扰，事实上的观察为Zi=Xi+"Yi，（2）其中Yi相互独立服从参数为!2的指数分布，且与Xi相互独立."也称为污染系数，事实上它是一个很小的数，可进一步假定"1＜1，（3）!2!1"1即与的比值远小于1.其直观背景是Xi的期望要比"Yi的期望要大得多，也就是"Yi这一项仅仅是污!2!1染和干扰而已.模型"元件试测受到误差的影响，这种误差服从正态分布.观察值也是Zi=Xi+

4、"Yi，其中Y相互独立服从标准正态分布N（0，1），且与X相互独立［2，3］ii.r记Z（1）＜Z（2）＜⋯＜Z（r）为Zi的顺序统计量，T=入Z（i）+（I-r）Z（r）为总试验时间.现在要问在i=1上述2个模型中T的分布是什么？显然当"=0时2!2，那么当"一0时T的分布就与"1T的分布就是X2r有关，它又与X2相差多少？本文将讨论这些问题.2r卡收稿日期：2001-01-08基金项目：国家自然科学基金资助项目（19471018）作者简介：郑祖康（1947—），男，教授，博士生导师.I26复旦学报（自然科学版）第40卷I模型!下

5、2!IT的分布nnn引理!若ai＞bi＞0，i=I，⋯，n，则I（ai-bi）＜Iai-Ibi（证明从略）.i=Ii=Ii=I-!x定理!在模型!中，设随机变量x服从参数为!I的指数分布，其密度函数为p（Ix）=!IeI，x＞0.-!y随机变量y服从参数为!2的指数分布，其密度函数为p（2y）=!2e2，y＞0.顺序统计量z（I），⋯，z（r）的联合密度函数为p（xI，⋯，xr），则2!IT的分布可以表示为⋯，⋯，x）cx⋯cx!I-n（t）+（"2），G（t）=P（2!IT＜t）=jp（xIrIr=（I-"）K2rjD!2t其中积

6、分区域D：{（xI，⋯，xr）：0＜xI＜⋯＜xr，xI+⋯+xr+（n-r）xr＜2!}，K2（rt）表示自由度为2r的IX2分布函数.证I计算z=x+"y的分布函数F（zz）及密度函数p（zz）.z-xz-xzz"-!x"-!yF（zZ）=jcjxp（x，y）cy=j!IeIcjx!2e2cy=0000!2!I"!2-!z-zzz-xI-eI+e"当!2一!I"时，（!e-!Ix）[I-e-!（2"）]cx=!2-!I"!2-!I"jI{0-!zI-（!Iz+I）eI当!2=!I"时.由公式（3）知!2一!I"，所以分布函数!2

7、!I"!2-!z-zF（zz）=I-eI+e"，（4）!2-!I"!2-!I"密度函数cF（zz）!I!2!2-!z-zp（zz）==（eI-e"）.（5）cz!2-!I"2计算z（I），⋯，z（r）的联合密度函数p（xI，⋯，xr）.由顺序统计量的密度公式知rn！（x）［I-F（x）］n-r⋯＜x，（n-r）！Ipzizr0＜xI＜rp（xI，⋯，xr）={i=I0其他；当0＜xI＜x2＜⋯＜xr时，r!!n！r-n-!x-2x-!x-2xn-rp（xI，⋯，xr）=（!I!2）（!2-!I"）I(eIi-e"i)(!2eIr-!

8、I"e"r)=（n-r）！i=Irrn-rn！r-!x-!（n-r）x!I-n-!2x!I-!2x!I(IeIi)eI（rI-"）[I(I-e("-!I)i)][I-"e("-!I)r]=（n-r）！i=I!2i=I!2rrn！r-!