带3-分片 NCP函数的无罚函数和滤子的SQ P算法.pdf

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1、第３５卷第４期河南科技大学学报：自然科学版Ｖｏｌ．３５Ｎｏ．４２０１４年８月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ：ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＡｕｇ．２０１４文章编号：１６７２－６８７１（２０１４）０４－００８２－０４带３分片ＮＣＰ函数的无罚函数和滤子的ＳＱＰ算法周敏，尚有林（河南科技大学数学与统计学院，河南洛阳４７１０２３）摘要：对于非线性约束优化问题，提出了一种新的无罚函数和滤子的ＳＱＰ算法。根据优化问题的一阶ＫＫＴ条件，利用乘子和３分片ＮＣＰ函数，得到非光滑方程以致简化优化问题。在线搜索的过程中，采

2、用无罚函数和滤子的方法。同时证明了该ＳＱＰ算法是可行的，并具有全局收敛性。关键词：滤子；ＳＱＰ算法；收敛；ＮＣＰ函数中图分类号：Ｏ２２４文献标志码：Ａ０引言考虑如下的约束非线性规划问题（ＮＬＰ）：ｍｉｎｆ（ｘ）；ｘ∈瓗ｎｓ．ｔ．Ｃ（ｘ）≤０，ｉ∈Ｉ＝｛１，…，ｍ｝，ｉｎｎｎ其中，ｘ∈瓗，ｆ：瓗→瓗，Ｃｉ：瓗→瓗，都是二次连续可微函数。非线性规划问题（ＮＬＰ）的拉格朗日函数为：ｍＴＬ（ｘ，λ）＝ｆ（ｘ）＋λｃ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋λｉｃｉ（ｘ），（１）ｉ＝１Ｔｍ其中，λ＝（λ１，…，λｍ）∈瓗是乘子向量。如果（ｘ，λ）是ＫＫＴ点，则它满足最优性条件：ｘＬ（ｘ，λ）＝

3、０，ｃｉ（ｘ）≤０，λｉ≥０，λｉｃｉ（ｘ）＝０，ｉ∈Ｉ。（２）问题（２）是一种非线性互补问题（ＮＣＰ）。由于ＮＣＰ函数的各种性质引起了广泛的关注，一个解决非线性互补问题（２）的方法是构建一个可求解的非线性方程：Φ（ｘ，λ）＝０。为了避免实际问题中惩罚［１］参数的设置，Ｆｌｅｔｃｈｅｒ第一次提出了关于求解约束非线性优化问题的滤子方法，同时定义了约束违反度函数ｍｐ（ｃ（ｘ））＝ｍａｘ｛０，ｃ（ｘ）｝。ｉｉ＝１Ｇｏｕｌｄ和Ｔｏｉｎｔ提出了一种新的无罚函数和滤子的方法，这个方法被证明是全局收敛性的，并用于［２－６］ＳＱＰ方法或信赖域ＳＱＰ方法关于非线性等式约束问题的求

4、解。本文对于非线性约束优化问题，提出了一种新的无罚函数和滤子的ＳＱＰ算法。根据优化问题的一阶ＫＫＴ条件，利用乘子和３分片ＮＣＰ函数，得到非光滑方程以致简化优化问题。在线搜索的过程中，采用无罚函数和滤子的方法。对给出的新的ＳＱＰ算法，证明了该算法是可实现的，并进一步讨论了该算法的收敛性。１预备知识２定义１函数：瓗→瓗，如果有基金项目：国家自然科学基金项目（１０９７１０５３）；河南省自然科学基金项目（０９４３００５１００５０）作者简介：周敏（１９８７－），女，河南三门峡人，硕士生；尚有林（１９６３－），男，河南洛阳人，教授，博士，博士生导师，主要研究方向为非线性规

5、划．收稿日期：２０１３－１０－２９第４期周敏等：带３分片ＮＣＰ函数的无罚函数和滤子的ＳＱＰ算法·８３·（ａ，ｂ）＝０ａ≥０；ｂ≥０；ａｂ＝０，则称为一个ＮＣＰ函数。较为常用的ＮＣＰ函数有ＦＢＮＣＰ函数、极小化ＮＣＰ函数、３分片线性ＮＣＰ函数等，对于其他的ＮＣＰ函数及其性质，见文献［７－８］。本文采用３分片线性ＮＣＰ函数来求解，形式如下：２３ａ－ａ／ｂ，ｂ≥ａ＞０或３ｂ＞－ａ≥０；（ａ，ｂ）＝２{３ｂ－ｂ／ａ，ａ＞ｂ＞０或３ａ＞ｂ≥０；９ａ＋９ｂ，ａ≤０且－ａ≥３ｂ，或－３ａ≤ｂ≤０，式中，是除原点外处处可微函数，但是在原点处是强半光滑。(３－２

6、ａ／ｂ)２２，ｂ≥ａ＞０或３ｂ＞－ａ≥０；ａ／ｂ２２ｂ／ａ（ａ，ｂ）＝()，ａ＞ｂ＞０或３ａ＞ｂ≥０；３－２ｂ／ａ９()，ａ≤０且－ａ≥３ｂ，或－３ａ≤ｂ≤０；９２３－２ｔｔＡ＝Ｂ（０，０）＝()：－３≤ｔ≤{２：－３≤ｔ≤１}∪{()１}。ｔ３－２ｔ为了充分利用ＮＣＰ函数与ＫＫＴ条件间的关系和ＮＣＰ函数几乎处处可微的性质，本文改造滤子中的度量，将约束违反度函数ｐ（ｘ）修正为：ｐ（ｘ，μ）＝（ｘ，μ）∞＝ｍａｘ（－ｃｉ（ｘ），μｉ）。１≤ｉ≤ｍｋｎｋｋ对于一个给定的迭代点ｘ∈瓗，即问题（ＮＬＰ）的局部最优解ｘ的当前估计，解如下问题ＱＰ

7、（ｘ，ｋｋｋｄ）得ｄ（同时可以得到问题ＱＰ（ｘ，ｄ）对应的乘子λ），ｋｋｋＴｋ１Ｔｋ（ＱＰ（ｘ，△））：ｍｉｎｑ（ｄ）＝ｄｆ（ｘ）＋ｄＨｄ；２ｋＴｋｓ．ｔ．ｃｉ（ｘ）＋ｄｃ（ｘ）≤０，ｉ∈Ｉ；ｋｋｄ≤△，（３）ｋ其中，Ｈ是拉格朗日函数的近似Ｈｅｓｓｉａｎ阵；·表示欧几里得范数。ｋ函数ｆ（ｘ）的真实下降量ｋｋｋｋ△ｆ（ｄ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ＋ｄ）；（４）ｋｆ（ｘ）的预测下降量ｋｋｋＴｋ１Ｔｋ△ｑ（ｄ）＝ｑ（０）－ｑ（ｄ）＝－ｄｆ（ｘ）－ｄＨｄ；（５）２ｋｆ（ｘ）的充分下降条件表示为：ｋｋ△ｆ（ｄ）≥τ△ｑ（ｄ），△ｑ＞０，（６）其中，τ是某一个常数。ｋ＋１ｋ＋

8、１选择ｘ为