罚函数罚与乘子法

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1、罚函数法罚函数法是能够处理一般的约束优化问题：的一类方法。其基本思想是将约束优化问题卑微无约束问题来求解。罚函数是由目标函数和约束函数的某种组合得到的函数，对于等式约束的优化问题，可以定义如下的罚函数：将约束优化问题转化为无约束优化问题；对于不等式约束的优化问题可以定义如下的罚函数：对于同时存在等式约束和不等式约束的优化问题，可以去上面两个罚函数的组合。当然罚函数还有其他的取法，但是构造罚函数的思想都是一样的，即使得在可行点罚函数等于原来的目标函数值，在不可行点罚函数等于一个很大的数。外点罚函数法1.算法原理外点罚函数法是

2、通过一系列罚因子，求罚函数的极小值来逼近原约束问题的最有点。之所以称为外点罚函数法，是因为它是从可行域外部向约束边界逐步靠拢的。2，。算法步骤用外点罚函数法求解线性约束问题的算法过程如下：1，给定初始点，罚参数列及精度，置；2，构造罚函数；3，用某种无约束非线性规划，以为初始点求解；4，设最优解为，若满足某种终止条件，则停止迭代输出，否则令，转2；罚参数列的选法：通常先选定一个初始常数和一个比例系数，则其余的可表示为。终止条件可采用，其中。3算法的MATLAB实现function[x,minf]=minPF(f,x0,A,

3、b,c1,p,var,eps)%目标函数：f；%初始点：x0;%约束矩阵：A；%约束右端向量：b；%罚参数的初始常数：c1;%罚参数的比例系数：p；%自变量向量Var；%精度：eps；%目标函数取最小值时自变量值：x;%目标函数的最小值：minf；formatlong;ifnargin==7eps=1.0e-4;endk=0;FE=0;fori=1:length(b)FE=FE+(var*transpose(A(1,:))-b(i))^2;endx1=transpose(x0);x2=inf;while1M=c1*p;FF

4、=M*FE;SumF=f+FF;[x2,minf]=minNT(SumF,transpose(x1),var);ifnorm(x2-x1)<=epsx=x2;break;elsec1=M;x1=x2;endendminf=Funval(f,var,x);formatshort;4.算法举例用外点罚函数法求下面的优化问题：其中取，初始点取。解：由题已知，则每一步迭代需求解的罚函数为：在MATLAB命令窗口中输入：>>f=0.5*t^2+s^2/4;>>A=[11];b=1;>>c1=0.05;p=2;>>[x,minf]=m

5、inPF(f,[00],A,b,c1,p,[ts])所得结果为：>>x=0.33330.6666minf=0.1666对于一般的等式约束问题也可以用外点罚函数法解决：function[x,minf]=minGeneralPF(f,x0,h,c1,p,var,eps)formatlong;ifnargin==6eps=1.0e-4;endk=0;FE=0;fori=1:length(h)FE=FE+(h(i))^2;endx1=transpose(x0);x2=inf;while1M=c1*p;FF=M*FE;SumF=f+

6、FF;[x2,minf]=minNT(SumF,transpose(x1),var);ifnorm(x2-x1)<=epsx=x2;break;elsec1=M;x1=x2;endendminf=Funval(f,var,x);formatshort;例用通用罚函数法求下面的优化问题：其中取，初始点取为。外点罚函数法除了可以求含等式约束的优化问题外，还可以求混合约束的优化问题，不过其罚函数形式要修正。通过引入罚函数可以转化为无约束优化问题。function[x,minf]=minConPF(f,x0,g,h,c1,p,va

7、r,eps)formatlong;ifnargin==7eps=1.0e-4;endk=0;FE=0;fori=1:length(h)FE=FE+(h(i))^2;endx1=transpose(x0);x2=inf;while1M=c1*p;FF=M*FE;gx=Funval(g,var,x1);gF=0;fori=1:length(h)ifgx(i)<0gF=gF+M*(g(i)^2);%构造罚函数endendSumF=f+FF+gF;[x2,minf]=minNT(SumF,transpose(x1),var);%用

8、牛顿法求解无约束规划问题ifnorm(x2-x1)<=epsx=x2;break;elsec1=M;x1=x2;endendminf=Funval(f,var,x);formatshort;内点罚函数法1.算法原理内点罚函数法的所有迭代过程均在可行域内进行，它每次迭代得到的点都是可行点，内点罚函数法的基