δ-强凸函数和几乎δ-强凸函数的稳定性.pdf

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1、华南师范大学学报（自然科学版）2003年2月JOURNALOFSOUTHCHINANORMALUNIVERSITY2003年第1期Feb.2003（NATURALSCIENCEEDITI0N）No.1，2003文章编号：1000-546（32003）01-0018-06!-强凸函数和几乎!-强凸函数的稳定性郑少薇（华南师范大学数学系，广东广州510631）摘要：给出!-强凸函数和几乎!-强凸函数的定义，研究它们的稳定性，获得了!-强凸函数一致地逼近一个强凸函数、几乎!-强凸函数在线性Lebesgue测度意义下几乎处处一致地逼近一个强凸函数及几乎强凸函数几乎处处等

2、于一个强凸函数等3个重要结果.关键词：强凸函数；几乎强凸函数；!-强凸函数；几乎!-强凸函数；Lebesgue测度中图分类号：0174.13文献标识码：AONTHESTABILITYIN!-STRONGLYCONVEXFUNCTIONSANALMOST!-STRONGLYCONVEXFUNCTIONSZHENGShao-wei（DepartmentofMathematics，SouthChinaNormaiUniversity，Guangzhou510631，China）Abstract：Definitionsof!-strongiyconvexfunction

3、andaimost!-strongiyconvexfunctionaregiven.Theirstabiiitiesareinvestigatedandthreeimportantresuitsareobtained：a!-strongiyconvexfunctionapproachesastrongiyconvexfunctionuniformiy；anaimost!-strong-iyconvexfunctionapproachesastrongiyconvexfunctionaimosteverywhereuniformiyunderthesenseofi

4、inearLebesguemeasure，andanaimoststrongiyconvexfunctioneguaisastrongiyconvexfunctionaimosteverywhere.words：strongiyconvexfunction；aimoststrongiyconvexfunction；!-strongiyconvexfunction；aimost!-strongiyconvexfunction；Lebesgnemeasure自Hyers和Uiam在1952年首先提出并证明了凸函数的稳定性以来，在1965-1966年，N.G.deBr

5、uiju和JurKat在回答Erdis的问题时先后研究并证明了几乎可加函数的稳定性!在1970年，Kuszma证明了几乎中点凸函数不同于关于线性Lebesgue零测集中的中点凸函数.在1984年，choiewa研究了!-凸函数的稳定性，给出了!-凸函数"：#!R一致地逼近一个凸函数的简单的证明!他还给出了一个中点凸函数在Hyers和Uiam意义下是不稳定的例子!在1986年，J.C.Parnami和H.L.Vasudeva研究了几乎!-凸函数的稳定性，他证明了几乎!-凸函数在线性Lebesgue测度意义下几乎处处一致地逼近一个凸函数［1］!本文给出!-强凸函数和

6、几乎!-强凸函数的定义，并研究这两类函数的稳定性，获得并收稿日期：2002-05-08作者简介：郑少薇（1944-），女，广东珠海人，华南师范大学副教授.改进了类似于凸函数的有关结果.在本文中，R表示全体实数之集，I表示R上的开区间，Kx表示由xGR所确定的R>R中的子集K的x的截口，即Kx=｛y；（x，y）GK｝.1强凸函数的有关概念由文［2］，给出了如下的定义1.1函数f：I～R称为强凸的，若3!>0，使V（x，y）GI>I，VtG［0，l］，恒有［ftx+（l-t）y］＄t（fx）+（l-t）（fy）-（tl-t）!（x-y）2.（l）下面，我们给出几乎强

7、凸函数、"-强凸函数及几乎"-强凸函数的定义.定义1.2函数f：I～R称为几乎强凸的，若3!>0，使V（x，y）GI>IN，VtG［0，l］，恒有（l）式成立，其中NCI>I为二维Lebesgue零测集.定义1.3设"30.函数f：I～R称为"-强凸的，若3!>0，使V（x，y）GI>I，VtG［0，l］，恒有［ftx+（l-t）y］＄t（fx）+（l-t）（fy）-（tl-t）!（x-y）2+".（2）显然，"=0时，f：I～R就是通常的强凸函数.定义1.4设"30.函数f：I～R称为几乎"-强凸的，若3!>0，使V（x，y）GI>IN，VtG［0，l］.

8、恒有（2）式成立，其中N