多元凸函数的判定

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1、多元凸函数的判定1引言凸函数是一类基本函数，具有非常好的分析学性质，在极值研究、不等式证明、数学规划、逼近论、变分学、最优控制理论、对策论等领域有着广泛的应用.人们对一元凸函数性质和判定方法已经有了丰富的研究，但随着凸函数应用范围的不断扩展，多元凸函数越来越多的被研究.一元函数凸性的判定方法也被推广到多元函数，文献[4]将凸函数与导函数之间的关系推广，给出了用梯度判定多元函数凸性的方法，文献[5]将凸函数与二阶导数之间的关系推广，给出了用黑塞矩阵判定多元函数凸性的方法.而多元函数的梯度与黑塞矩阵在计

2、算中往往比较繁琐，本文将着力研究多元函数凸性判定方法的改进，使凸函数判定的计算更加简洁，应用更加方便.2定义及引理本节主要介绍本文用到的定义及引理.定义2.1[2]设，如果中的任意两点的连线也在内，则称为中的凸集.即对任意，数，总有.定义2.2[1]设为非空凸集,为定义在上的函数,若对任意，总有，(1)则称为上的凸函数.反之，如果总有，(2)则为上的凹函数.若上述(1)、(2)中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.定义是定义在上的多元函数，若在点存在对所有自变量的偏导数，

3、则称向量为函数在点的梯度，记作3定义是定义在上的多元函数，且在点具有二阶连续偏导数，记它称为在的黑赛矩阵.引理2.1[1](泰勒定理)若函数在上存在直至阶的连续导函数，在上存在阶导函数，则对任意给定得，至少存在一点，使得3已有结果定理为上的凸函数的充要条件是：对于上的任意三点，总有定理设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸（凹）函数的充要条件是，.定理设为凸集内可微函数，则为内的凸函数的充要条件是:对任意，，则.定理设是定义在非空开集的二次可微函数，则是凸函数的充要条件是在任意点处的黑赛矩阵半正定.定

4、理设是定义在非空开集的二次可微函数，若的黑赛3矩阵在任意点处正定，则是严格凸函数.3