9.5 梁的位移与挠曲线近似微分方程

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1、9.5梁的位移与挠曲线近似微分方程1.基本概念:挠曲线方程：1、弯曲变形的表示方法：（1）挠度y：截面形心在y方向的位移;（2）转角θ:某横截面绕自己的中性轴转动的角度。转角方程：由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠曲线挠度转角表明：挠曲线上某点切线的斜率等于该点横截面的转角。2.挠曲线的近似微分方程：推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响由数学知识可知：略去高阶小量，得所以由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。由弯矩的正负号规定可得，当y坐标向下时，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数异号，所以挠曲线的近似微分方程为：EI

2、Z——抗弯刚度挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：9.6积分法求弯曲变形积分常数利用梁的边界条件及连续光滑条件来求得。边界条件：梁横截面的已知位移条件或约束条件。连续光滑条件：在相邻梁段的交接处即分段处，相连两截面应具有相同的转角与挠度。确定积分常数举例：边界条件：连续条件：确定积分常数举例：边界条件：连续条件：例1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解:1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABF4）由位移边界条件确定积分常数代入求

3、解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度讨论积分法求变形有什么优缺点？9.7叠加法求梁的变形梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加法。即叠加法是：分别求出各载荷单独作用时的变形，然后把各载荷在同一处引起的变形进行叠加(代数叠加)。由叠加法得：直接查表：例已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再

4、加上集度相同、方向相反的均布载荷。解:3）将结果叠加2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。讨论叠加法求变形有什么优缺点？9.8梁的刚度条件及提高梁刚度的措施1.刚度条件解：1）外力分析：2）内力分析：(M方程)3）挠曲线方程和转角方程：，试校核刚度。例、已知EIZ，M0，L，求θA，θB，及中点的挠度；若4）确定积分常数：得：所以5）求θA，θB。（）（）6）刚度校核：刚度满足要求。中点的挠度：2.提高梁刚度的措施：1）选择合理的截面形状增大截面惯性矩2）改善结构形式，减小弯矩数值3）采用超静定结构小结基本要求：掌握弯曲的

5、概念和实例，梁的计算简图，掌握纯弯曲的正应力公式，弯矩与挠曲线曲率间的关系，抗弯刚度，抗弯截面模量，纯弯曲理论的推广，熟练掌握梁按正应力的强度计算。掌握矩形截面梁的剪应力，工字形截面梁的剪应力，梁按剪应力的强度校核，提高弯曲强度的措施。掌握梁的变形和位移，挠度和转角，梁的挠曲线及其近似微分方程，用积分法求梁的挠度转角，根据叠加法求梁的挠度转角，梁的刚度校核，提高梁的刚度措施。重点：梁按正应力的强度计算，梁按剪应力的强度校核。难点：梁的刚度校核。本章结束