挠曲线的近似微分方程.ppt

《挠曲线的近似微分方程.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、杆件的弯曲与扭转变形答疑课程：工程力学《一》2015-11-08变形与应变圆轴的扭转变形与刚度条件梁的弯曲变形与刚度条件目录123提高杆件刚度的措施4一、变形的概念物体形状及体积的变化，称为变形。小变形——变形量远小于构件的原始尺寸。在计算构件的受力平衡时，可以按构件的原始尺寸进行计算。1、建立刚度条件，构件的变形应限制在允许的范围之内；2、求解静不定问题。二、研究变形的目的1、变形和应变构件的形状是用它各部分的长度和角度来表示。因此构件的变形也可以归结为长度的改变和角度的改变，即线变形和角变形。三、应变

2、棱边长度改变abb’棱边夹角改变abb’构件整体的变形并不能准确地描述构件的变形程度，为了准确描述杆件的变形程度，引入另外一个概念：应变。ab线段的平均正应变a点沿ab方向的正应变正应变特点:正应变是无量纲量；过同一点，不同方位的正应变一般不同。1、正应变abb’△x△u直角bac的改变量——直角bac的切应变切应变为无量纲量切应变单位为rad2、切应变切应变特点:abb’c微段dx的扭转变形一、圆轴扭转变形公式圆轴截面扭转刚度。相距l的两横截面的扭转角GIp2、圆轴的扭转变形与刚度条件对于扭矩T、切变模

3、量G及极惯性矩Ip都不随轴线变化的情况，相距l的两截面的相对扭转角为:若轴上作用几个不同的扭矩，或者横截面面积或剪切模量在不同的区段发生突变，而在每一个区段内上述参数为常值，分段求解，然后进行叠加，即:在工程实际中，通常是限制单位长度的扭转角的最大值不超过某一规定的许用值二、圆杆扭转刚度条件一般传动轴，[φ’]=0.5~1/m例4图为一圆截面轴AC，受扭转力偶矩MA，MB与Mc作用。已知MA=90N·m,MB=160N·m，MC=70N·m，l=2m，G=80GPa，IP=3.0×105mm4，[φ’

4、]=0.3(o)/m。试计算该轴的总扭转角φAC（即截面C对截面A的相对转角），并校核轴的刚度。解：（1）扭转变形分析：（2）刚度校核：轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为可见，该轴的刚度符合要求。解:(1)按强度条件求所需外直径D例5由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比=0.5。已知材料的许用切应力[τ]=40MPa，切变模量G=80GPa。轴的横截面上扭矩的最大值为Tmax=9.56kN·m，轴的许可单位长度扭转角[]=0.3。试选择轴的

5、直径。(2)按刚度条件求所需外直径D内直径则根据a=d/D=0.5知：一、挠度与转角对于平面弯曲问题，梁的轴线变形后成为一平面曲线，且与外力在同一平面内。3、梁的弯曲变形与刚度条件梁变形的表示方法：ABF变弯的形心轴——挠曲线F描述截面上任一点的位移:1、形心轴的线位移——挠度2、截面绕形心轴的角位移——转角F挠度随坐标变化的方程——挠曲线方程F忽略剪切变形+梁的转角一般很小——二、挠曲线的近似微分方程前面在导出纯弯曲正应力公式时，曾得到用中性层曲率表示的弯曲变形公式为横力弯曲中，如果忽略剪力的影响，则梁

6、轴线的曲率为由微积分的基本知识，挠曲线与曲率满足以下关系则：正负号确定——确定坐标系:(从数学)(本书规定)w向上为正xx小变形时：Œ小变形应用条件：三、用积分法求梁的位移FC、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。固定端的挠度和转角均为零，铰支座处的挠度为零。$挠曲轴在C点连续且光滑边界条件：梁截面的已知位移条件连续条件：分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件例6如图所示图形为一外伸梁，承受集中载荷作用，试绘制挠曲线的大致形状图。设弯曲刚度EIZ为常数。F根据弯矩图定凹凸性，F弯矩图过零点处为拐点,F支

7、座限定支座处的位移。Q挠曲线大致形状的画法例7如图所示悬臂梁，在自由端受一集中力F的作用，EIZ为常数。试求梁的自由端的挠度ωB和转角θB。解：弯矩方程:挠曲线的近似微分方程:进行一次积分得：再进行第二次积分得：边界条件为将边界条件带入相应的表达式可得两个积分常数将积分常数代入转角和挠度的表达式可得梁的转角方程和挠度方程根据梁的受力及边界条件，画出梁的挠曲线示意图,将x=l代入挠度和转角方程中得（顺时针）（向下）例8如图悬臂梁受均布载荷，EIZ为常数，求自由端的挠度ωB和转角θB。解：梁的弯矩方程：则梁的

8、挠曲线微分方程为：进行一次积分得：再进行第二次积分得:考虑边界条件，对于悬臂梁来说，固定端的挠度和转角都为零，即将上述两个边界条件代入挠度和转角的表达式，可得出积分常数为将C、D代入挠度和转角的表达式可得转角方程和挠曲线方程最后，把x=l分别代入转角和挠曲线方程，就可得到梁自由端的转角和挠度：根据挠度和转角的符号规定，上述结果表明转角为顺时针，挠度方向为向下。例9如图所示一简支梁，其上受均布载荷q，EIZ为常数。试求此梁的最大