2、>(或π-).2.交汇问题:常常与证明线面的平行、垂直关系同时考查.求二面角或某一三角函数值【典例】(2019·全国卷Ⅱ)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1.(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.【解析】(1)由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,EC1∩B1C1=C1,所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,
3、所以∠AEB=45°,故AE=AB,AA1=2AB.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,
4、
5、为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,11则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),=(1,0,0),=(1,-1,1),=(0,0,2).设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则即所以可取n=(0,-1,-1).设平面ECC1的法向量为m=(x,y,z),则即所以可取m=(1,1,0).于是cos==-.所以二面角B-EC-C1的正弦值为.与二面角有关的综合问题【典例】如图,在梯形ABCD中,AB
6、∥CD,∠BCD=,四边形ACFE为矩形,且CF⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF=1.(1)求证:EF⊥平面BCF.(2)点M在线段EF(含端点)上运动,当点M在什么位置时,平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值.【解析】(1)在梯形ABCD中,因为AB∥CD,AD=CD=BC=1,又因为∠BCD=,所以∠ADC=π,∠ACD=,所以∠ACB=,故AC⊥BC.因为CF⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,11所以AC⊥CF,而CF∩BC=C,所以AC⊥平面BCF,因为EF∥AC,所以EF⊥平面BCF.(2)由(1)可建立
7、分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系如图所示,AD=CD=BC=CF=1,令FM=λ(0≤λ≤),则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),所以=(-,1,0),=(λ,-1,1),设n1=(x,y,z)为平面MAB的一个法向量,由得取x=1,则n1=(1,,-λ),因为n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,所以cosθ===,因为0≤λ≤,所以当λ=0时,cosθ有最小值,所以点M与点F重合时,平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大,此时二面角的余弦值为.1.在正方体ABCD-A1B1
8、C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )11A.B.C.D.【解析】选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设棱长为1,则A1(0,0,1),E1,0,,D(0,1,0),所以=(0,1,-1),=1,0,-,设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z),则所以所以n1=(1,2,2).因为平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),所以cos==.即所成的锐二面角的余弦值为.2.(2020·广州模拟)如图,四棱锥F-ABCD中,底面ABCD为边长是2的正方形
9、,E,G分别是CD,AF的中点,AF=4,∠FAE=∠BAE,且二面角F-AE-B的大小为90°.(1)求证:AE⊥BG.(2)求二面角B-AF-E的余弦值.【解析】(1)作GO⊥AE于点O,连接BO,因为AG=AB=2,∠GAO=∠BAO,AO=AO,11所以△AOG≌△AOB,所以∠AOB=∠AOG=90°,即GO⊥AE,BO⊥AE,又GO∩BO=O,所以AE⊥平面OGB,又GB⊂平面OGB,所以AE⊥BG.(2)因为平面AEF⊥平面AEB,平面AEF∩平面AEB=AE,GO⊥AE,所以GO⊥平面AEB.以点O为原点,OA,OB,OG所在直线为
10、x,y,z轴,建立空间直角坐标系,因为S△ABC=×AB×BC=AE·BO,所以×2×2=××BO.所以BO=,即GO=⇒
