第一章 向量代数与空间解析几何 第五节 平面与直线方程

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1、第五节平面与直线方程一平面方程的各种形式二直线方程的各种形式三平面直线间的夹角及相互关系1如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量．法向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知平面的法向量为设平面上的任一点为必有1平面方程的点法式且过点一平面方程的各种形式2平面的点法式方程平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．其中法向量已知点3解取所求平面方程为化简得例1求过三点和的平面方程.4由平面的点法式方程平面的一般方程法向量5取法向量化简

2、得所求平面方程为解例2求过点，且垂直于平面和的平面方程.6平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于坐标面；类似地可讨论情形.类似地可讨论情形.7设平面为由平面过原点知所求平面方程为解例3设平面过原点及点且与平面垂直，求此平面方程.由平面过点知8设平面为将三点坐标代入得解例4设平面与三轴分别交于（其中求此平面方程.代入所设方程得平面的截距式方程轴上截距轴上截距轴上截距9设平面为由所求平面与已知平面平行得解例5求平行于平面坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面

3、方程.而与三个代入体积式所求平面方程为10空间直线可看成不平行两平面的交线．空间直线的一般方程1空间直线的一般方程二直线方程的各种形式11如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．//2空间直线的对称式方程与参数方程设直线过点方向向量为为直线上任意一点直线的对称式方程（点向式）（标准式）直线的一组方向数12令方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程例6求过两点的直线方程。解所求直线的方向向量为所求直线方程为直线两点式方程13例7用对称式方程及参数方程表示直线解在直线上

4、任取一点取解得点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直取对称式方程参数方程14解所以交点为取所求直线方程例8一直线过点且和轴垂直相交，求其方程.因为直线和轴垂直相交,或15定义（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.1两平面间的夹角三平面直线间的夹角及相互关系16按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征：//特别与重合17例9研究以下各组里两平面的位置关系：解两平面相交，夹角18两平面平行但不重合．两平面重合.解解19解例9设是平面外一点，求到平面的距离.20点到平面距离

5、公式21直线直线两直线的夹角为两直线的方向向量的夹角（锐角）.两直线的夹角公式2两直线的夹角22两直线的位置关系：//直线直线例如，23解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程例10求过点且与两平面和的交线平行的直线方程.24^3直线与平面的夹角称为直线直线和它在平面上的投影直线的夹角与平面的夹角．^或25直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：//26解为所求夹角．例11设直线平面求直线与平面的夹角.27解令例12求过点且与直线垂直相交的直线方程，并求点到直线的距离。先作一过点且与已知

6、直线垂直的平面再求已知直线与该平面的交点28代入平面方程得,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为点到直线的距离29设直线的一般式方程为其中系数与不成比例。对于任意常数建立三元一次方程：或4平面束方程30由于系数与不成比例，所以对任意常数不同时为零，因此方程(3)表示一个平面。又由于满足的方程的点必满足此平面方程，因此方程(3)一定通过直线的平面。反之，通过直线的平面（除(2)外）都包含在(3)所表示的一族平面中。通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程(13)称为通过直线的平面束方程。31例

7、13求过直线和点的平面方程。解法一将直线方程化为标准式所以已知直线的方向向量为且过点因此所求平面的法向量为32所以所求平面方程为即解法二过已知直线的平面束方程为所求平面过点所以所求平面方程为33例14求直线在平面上的投影直线方程。解所求直线在与已知平面垂直的平面上，和已知平面垂直，过已知直线且与已知平面垂直的平面方程，首先求过已知直线的平面束方程为即34所求直线方程为因此35