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《系统辨识 第三章 状态估计—Kalman滤波方法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第三章状态估计Kalman滤波方法估计的基本理论所谓估计就是根据量测的一组样本Y={y(1),y(2),L,y(N)}构造一个统计量T(Y)作为变量x的估计量当x为状态空间中的某个随机变量时就称为状态估计当x为参数空间中的某个点时如反映数字特征的参数称为点估计或参数估计估计的基本理论所研究的问题是统计量T(Y)如何构造以及估计量的评价标准如何考虑估计量的评价标准利用样本对参数或状态的估计量)xˆ(N)=T(Y(3.1.1)一般与真值x不同此处设x为确定值必须建立一些评价标准反映估计的优劣无偏估计与渐近无
2、偏估计定义对于式3.1.1给出的估计量若满足E(xˆ)=x(3.1.2)则称xˆ为x的一个无偏估计如果满足lim=E{xˆ}=x(3.1.3)N→∞则称xˆ为x的渐近无偏估计例设y是任意分布的随机变量其数学期望为E{y}=m又设y(1),y(2),L,y(N)是y的一组容量为的样本构造统计量N1mˆN=∑y(i)Ni=1估计y的均值因为y(i),i=1,L,N与母体同分布则N11E{mˆN}=∑E{y(i)}=(N•m)=mNi=1N所以统计量mˆ是参数m的一个无偏估计N一致估计所谓一致估计就是希望样本
3、容量无限增大时估计值能够落在真值的任一邻域的可能性最大定义如果对于任意实数ε>0式3.1.1得到的估计量依概率收敛于真值即(N)limP{xˆ−x>ε}=0(3.1.4)N→∞则称该估计为一致估计充分估计(N)(N)如果xˆ包含了样本{y(1),y(2),L,y(N)}关于x的全部信息则称xˆ为x的充分估计有效估计这个指标用来衡量估计量的协方差为此我们先引出著名的Cramer-Rao不等式定理[2]设xˆ是x的一个正规无偏估计y是与x有关的随机变量x的协方差函数阵为TTcov{xˆ,xˆ}∆E{[xˆ−
4、E(xˆ)][xˆ−E(xˆ)]}=E{(xˆ−x)(xˆ−x)}(3.1.5)则有−1cov{xˆ,xˆ}≥Mx(3.1.6)其中∂logp(yx)∂logp(yx)TM∆E{[][]}(3.1.7)x∂x∂x称为Fisher信息函数阵对列向量x求导取行向量p(yx)是随机变量y关于变量x的条件概率密度反映了y所含的有关x的信息故称式3.1.7为信息阵定义如果变量x的一个无偏估计xˆ的协方差函数阵按对称阵的正负定关系达到下界则称为x的有效估计从式3.1.5协方差的定义看它代表估计量xˆ对于真值的误差平
5、方使这个误差平方达到其最小值的估计量xˆ被作为最有效的估计另一方面估计方差的最小值又由信息阵也即量测样本Y所含的有关x的信息量决定因此为了获取最理想的估计必须注意两点量测Y应尽可能多地含有待估量x的信息应构作适当的统计量xˆ=T(Y)使3.1.6式成立线性无偏最小方差估计上小节提到构作不同的统计量会达到不同的估计效果也形成了各不相同的估计算法如果待估量x表示参数就有各种各样的辨识方法例如采用似然函数构造统计量产生了参数的极大似然估计方法若待估量x是状态变量就可构造不同的统计量得到各种滤波状态估计方法本小
6、节讨论一种很重要的估计算法线性无偏最小方差估计最小方差估计定义若对任意T(Y)有*2E[T(Y)−x]≤E[T(Y)−x]则称T(Y)为最小方差估计定理设x和Y是两个联合分布的随机向量则x的最小方差估计xˆ就是x的条件期望值∞xˆ=E[x
7、y]=∫xp(x
8、y)dx(3.1.8)−∞证明假定f(y)为x的一个估计其中y为随机向量Y的某一实现则估计误差为~x=x−f(y)且~~TTE[xx]=E{[x−f(y)][x−f(y)]T=E{[x−E(x
9、y)+E(x
10、y)−f(y)]•[x−E(x
11、y)+E(
12、x
13、y)−f(y)]}TT=E{[x−E(x
14、y)][x−[x−E(x
15、y)]}+E{[E(x
16、y)−f(y)][E(x
17、y)−f(y)]}TT+E{[x−E(x
18、y)][E(x
19、y)−f(y)]}+E{[E(x
20、y)−f(y)][x−E(x
21、y)]}下面说明上式的最后两项为零TE{[x−E(x
22、y)][E(x
23、y)−f(y)]}∞∞T=∫∫[x−E(x
24、y)][E(x
25、y)−f(y)]P(x,y)dxdy−∞−∞∞∞T=∫∫{[x−E(x
26、y)]p(x
27、y)dx}[E(x
28、y)−f(y)]p(y)dy
29、−∞−∞∞∞∞T=∫∫{xp(x
30、y)dx−∫E(x
31、y)p(x
32、y)dx}[E(x
33、y)−f(y)]p(y)dy−∞−∞−∞∞T=∫{E(x
34、y)−E(x
35、y)}[E(x
36、y)−f(y)]p(y)dy=0−∞同理可证TE{[x−E(x
37、y)][E(x
38、y)−f(y)]}所以有~~TTE[xx]=E{[x−E(x
39、y)][x−E(x
40、y)]}(3.1.9)T+E{[E(x
41、y)−f(y)][E(x
42、y)−f(y)]}因上式右端第二项是非负定
