现代谱估计(复习大纲).pdf

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1、第一章经典谱估计一、相关函数和功率谱若m(n)m常数，r(n,n)r(nn)即xxxx12xx12r(k)E[x(nk)x*(n)]，则称{x(n)}为广义平稳序列。xx若{x(n)}和{y(n)}均为广义平稳序列，且r(n,n)r(nn)即xy12xy12r(k)E[x(nk)y*(n)]，则称{x(n)}和{y(n)}为广义联合平稳序列。xy广义平稳随机序列{x(n)}的相关函数r(k)和它的功率谱密度xxP()之间是傅立叶变换对的关系，即xxjkPxx()rxx(k)ed(1.6)k

2、1jkr(k)P()ed(1.7)xxxx2这一关系式常称为维纳——欣钦定理。由自相关函数和功率谱密度的定义，不难得出它们的一些基本性质，主要有：1、当{x(n)}为复序列时，r(k)r*(k)；若{x(n)}为实序列，则相xxxx关函数为偶函数，即r(k)r(k)。xxxx2、相关函数的极大值出现在k0处，即r(k)r(0)。xxxx3、若x(n)含有周期性分量，则r(k)也含有同一周期的周期性分量，xx否则，当k时，r(k)0。xx4、当x(n)为实序列时，P()为非负实对称函数，即P(

3、)P()xxxxxx和P()0。xx5、平稳随机序列{x(n)}的自相关函数rxx(0)是实的且为正，而且对任一a(n)序列和任一M，自相关函数（ACF）满足：2M1M1M1E{a*(n)x(n)}a*(m)a(n)rxx(mn)0（1.10）n0m0n0-1-这个函数称为半正定的。自相关函数（ACF）和互相关函数（CCF）的z变换定义为：kPxx(z)rxx(k)z（1.11）kkPxy(z)rxy(k)z（1.12）k11若令2f,f为归一化频率，频率区间

4、f为基本周期。则式22（1.6）的自功率谱密度和式（1.8）互功率谱密度又可分别表示为j2fkPxx(f)rxx(k)e（1.13）kj2fkPxy(f)rxy(k)e（1.14）kP(f)是实的，且非负。xx当一平稳随机序列{x(n)}通过一个脉冲响应为h(n)的线性非时变系统时，其输出序列{y(n)}也是一平稳随机序列。它的自相关函数为*r(k)h(k)h(k)r(k)(1.16)yyxx1P(z)H(z)H*()P(z)（1.17）yyxxz*11若h(n)为实系统，则H*()

5、H()。令zexp(j)exp(j2f)，得到相z*z应的功率谱表达2Pyy()H()Pxx()(1.26a)2或Pyy(f)H(f)Pxx(f)(1.26b)上述关系对以后讨论谱估计问题是很有用的。11/2r(0)P()dP(f)df为输出过程{y(n)}的平均功率。yy1/2yy2经常遇到的一种过程是离散白噪声，它的自相关函数（ACF）定义为：-2-2r(k)(k)（1.29）xxx其中(k)是离散冲激函数。这就是说，各样本之间彼此是不相关的。1/2j2f2（1.30）P(f)

6、r(k)edfxxxxx1/2这表明它在各频率上是完全平坦的。换句话说，白噪声的所有频率分量均具有相同的功率。二、相关函数的估计1、自相关函数的各态历经性一般说来，严格各态历经过程允许我们用时间平均来代替系综平均（集合平均或统计平均）。用时间平均作为广义平稳随机过程均值的估计。M1limx(n)E{x(n)}x（1.34）M2M1nMM1limx*(n)x(nk)E[x*(n)x(nk)]rxx(k)（1.36）M2M1nM2、相关函数的估计我们实际所能得到的随机序列的样本数总是有限的

7、，由有限个样本通过某种运算求出的序列的均值和自相关函数统计特征值叫做它们的估计值。下面讨论随机序列有限个样本的相关函数的估计问题。设{x(n),n0,1,,N1}为实随机序列{x(n)}的一批样本，共有N个值。有时简称之为长度为N的随机序列x(n)。方法一：根据假定的自相关函数的各态历经性（或遍历性），可用下式估计它的自相关函数，即Nk11rˆxx(k)x(nk)x(n)（1.38）Nkn0Nk11E[rˆxx(k)]E[x(nk)x(n)]Nkn0Nk11rxx(k)rxx(k)（1.3

8、9）Nkn0当N时，var{rˆxx(k)}0，-3-因此rˆ(k)是相关函数r(k)的无偏估计且是渐近一致的，即当k为有限xxxx值时，rˆ(k)是r(k)的一致估计。xxxx方法二：有限长度序列{x(n),n0,1,