由方程组确定的隐函数求导问题.pdf

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1、第!卷"第!期""贵阳学院学报（自然科学版）"（季刊）"#$%&!"’$&!()*+’,-)./*01,’/2)--3/34556年7月’89:;8%<=>?@=?A（B:8;9?;%C）D8;&4556由方程组确定的隐函数求导问题!姚健康（河海大学理学院，江苏南京"4!55EF）摘"要：介绍求解由方程组确定的隐函数求导问题常用的几种方法：将隐函数显化，方程两边直接求导，利用全微分。关键词：方程组；显化；直接求导；全微分中图分类号：)!7""文献标识码：,""文章编号：!6G7H6!4I（4556）5!H555!H5

2、7!"#$#%&’()&*+*,-./0&1&)23+1)&*+$#)#%.&+#456768)#.*,9:3()&*+81,)(>8@JK8@L（2$%%?L?$M<=>?@=?，N?O8>*@>P?;A>9C，’8@Q>@L(>8@LA:4!55EF，2O>@8）;58)%(1)：0@9;$R:=>@LA$S?=$SS$@S?9O$RAM$;9O?R?;>P89>$@$M>ST%>=>9M:@=9>$@R?9?;S>@?RUCACAJ9?S$M?V:89>$@A：9$?WT%>=>9>X?>ST%>=>9M:@=

3、9>$@，9$R>MM?;?@9>89??V:89>$@，9$:A?T?;M?=9R>MM?;?@9>8%&<#6=*%48：ACA9?S$M?V:89>$@A；?WT%>=>9>X?；>SS?R>89?R?;>P89>$@；T?;M?=9R>MM?;?@9>8%""在多元函数微分学中，隐函数的求导向们可以先将方程组所确定的隐函数显化，再来都被学习者看作是一个难点，特别是由方求其偏导数。程组确定的隐函数求导更是让初学者觉得例!、设无所适从，不知该把哪些变量看作函数，哪!Y"Z#些变量看作自变量。下面通过几个例子来""

4、{$Y"H#说明此类问题的求解。%Y"#!%!!>?将隐函数化为显函数再求偏导数求，。!!!$对一些变量之间关系较简单的问题我分析与解：由第一、第二式可得!收稿日期：455IH5[H45作者简介：姚健康（!E6GH），男，江苏滨海人，硕士，现工作于河海大学理学院，讲师，主要从事最优化理论研究。—!—""#"$#!!$+,($!!，$!，!。!!##!#’"&()*$$&+,($##"$#代入第三式得%%!&，!"利用全微分求解所以%!%!’"，!%!$’#。有些题目利用全微分来解比较简便。!"#!##!!例/、设"!

5、&+,($，#!&()*$，%!!$，求#%直接对方程两边求偏导数，再解关!%!%。!"!#于偏导数的方程分析与解：对三个方程两边求微分，得%%大多数由方程组确定的隐函数一般不’"!&!’!+,($"&（!$()*$）’$，（’）易或不能显化，这时我们一般直接对各个方’#!&!’!()*$"&!+,($’$，（#）程两边求偏导数，然后再解关于偏导数的方’%!$’!"!’$，（/）程组。此时首先要分清谁是函数，谁是自变（’）.+,($"（#）.()*$得量。一般地，方程组中有几个方程该方程组+,($’""()*$’#!

6、&!’!，’!!&$!+,($’""就确定几个函数，用方程组中变量的总个数&$!()*$’#，（&）减去方程个数就是自变量的个数，至于谁是（’）.()*$$（#）.+,($得函数谁是自变量，看问题所求偏导数可确()*$’"$+,($’#!$&!’$，定。’$!$&$!()*$’""&$!+,($’#，（0）!"!&"!()*$将（&），（0）代入（/）得例#、设{#!&!$!+,($’%!&$（!$+,($$!()*!）"&$（!$()*$"!!!!!+,($）’#，求，。!"!#!%!%而’%!’""’#，经比较可

7、得分析与解：方程组中有两个方程，共&!"’#个变量"，#，!，$，所以应确定两个函数，根据!%$!!%$!!&（$+,($$!()*!），!&（$()*$所求偏导数可知，"，#为自变量，方程组所!"!#确定两个函数是!（"，#），（$"，#）。"!+,($）。两个方程两边关于"求偏导，得以上所介绍的三种方法中第二种方法是最基本最常用的，下面再看一个题目。!!!!!!$’!&"()*$"!+,($（’）!"!"!"例&、设#!（("，)），而)是由方程*（"，!!!!!!$#，)）!-所确定的关于"，#的函数，其中(，

8、*-!&$+,($$!（$()*$）（#）!"!"!"都有连续偏导数。（’）.()*$$（#）.+,($消去!$得!(!*!(!*$!"’#!"!)!)!"求证：!!!!!!#’"!(!*"!*()*$!&（()*$$+,($）"（()*$"!"!"!)!#!)##!（("，)）+,($）证明：联列成方程组{*（"，#，)）!-!!()*$所以