初等几何研究试题答案(7)李长明版.doc

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1、七、关于共圆点与共点圆1、两圆相切，自其公切线上任一点作两直线，一线割圆于A、B，另一线割圆于C、D，求证：A、B、C、D共圆。证明：设共切点为T由切割线定理得：PT2=PA·PBPT2=PC·PD∴PA·PB=PC·PD∴A、B、C、D共圆。2.四圆依次外切，求证四切点共圆。O1O3O2O4DACB证明：设O1，O2，O3，O4顺次外切于ABCD.则∠ABC=(∠AO2B+∠BO3C)∠CDA=(∠CO1D+∠DO1A)再注意到四边形O1O2O3O4顺次ABCD，即知四边形ABCD对角互补∵O1，O2，O3，O4顺次外切于ABCD∴则∠ABC=(∠AO2B+∠BO3C)∠CDA

2、=(∠CO1D+∠DO1A)∵四边形O1O2O3O4顺次ABCD∴四边形ABCD对角互补3.设P、M分别在正方形ABCD的边DC、BC上，PM与⊙A（半径为AB）相切，线段PA、MA分别交对角线BD于Q、N.求证：五边形PQNMC内接于圆。证明：连结MQ、AT∴∠1＝∠1′，∠2＝∠2′∴∠1′＋∠2′＝45°∴α=45°＋∠2β＝∠MAP＋∠2＝45°＋∠2∴α＝β∴A、B、M、Q共圆∴∠ABM＋∠MQA＝180°且∠ABM＝90°∴∠MQA＝90°∴M、C、P、Q共圆同理P、N、M、C共圆∴M、C、P、Q、N五点共圆。4.设O为△ABC内一点，AA’,BB’,CC’均以O为中

3、点。求证：△BCA’,△CAB’,△ABC’与△A’B’C’的外接圆共点证：连接B’M,CM,A’M,设△BCA’外接圆与△A’B’C’外接圆的另一交点M（≠A’），如图，则由BCMA’,A’MB’C’内接于圆可知∠B’MC=∠1+∠2=∠3+∠4由对称性知BC∥B’C’,过A‘作BC的平行线，则有∠3+∠4=∠5+∠6=∠BA’C’再由对称性知∠BA’C’=∠B’AC∴∠B’MC=∠B’AC∴M在△CAB’的外接圆上同理，M在△ABC’的外接圆上故△BCA’,△CAB’,△ABC’与△A’B’C’的外接圆共点。