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1、第四章线性方程组线性方程组是否有解?若有解,那么一共有多少解?怎样求出其所有解?往年考题中,方程组出现的频率较高,大致有三种类型,一是非齐次线性方程组的求解(含对参数取值的讨论),二是齐次线性方程组基础解系的求解与证明,再者是有解,有非零解的判定及解的结构。向量的线性表示实际上也是一个方程组求解问题,而向量的线性相关实际上是齐次方程组是否有非零解的问题。一、齐次方程组有非零解、基础解系、通解等问题*1.(02,3分)设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则线性方程组(AB)x=0(A)当n>m时仅有零解;(B)当n>m时必有非零解;(C)当m>n时
2、仅有零解;(D)当m>n时必有非零解。2.(02,8分)设齐次线性方程组其中a≠0,b≠0,n≥2,试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解,有无穷多组解?在有无穷多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解。评注:把第n行的-1倍加至第i行,i由1至n-1;然后把每行的-b倍均加至第n行。3.(03,13分)已知齐次线性方程组其中。试讨论a1,a2,…,an,和b满足何种关系时(1)方程组仅有零解;(2)方程组有非零解,在有非零解时,求此方程组的一个基础解系。先把第1行的-1倍依次加至其余各行,然后是把i行的-ai倍加至第1行(i=2,…,n
3、),再将第1行移到最后一行。评注:本题行列式的计算方法特别多,不知你还会那些?你能用特征值的方法和理论求出的值吗?*4.(04,4分)设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0,若是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系。(1)不存在;(2)仅含一个非零解向量;(3)含有两个线性无关的解向量;(4)含有三个线性无关的解向量。(96,6分)求齐次线性方程组的基础解系。*(98,5分)已知线性方程组(Ⅰ)的一个基础解系为(b11,b12,…,b12n)T,(b21,b22,…,b22n)T,…,(bn1,bn2,…,bn2n)T,试
4、写出线性方程组(Ⅱ)的通解,并证明理由。(01,6分)设α1,α2,…,αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,…,βs=t1αs+t2α1,其中t1,t2为实常数,试问满足什么关系时,β1,β2,…,βs也为Ax=0的一个基础解系。(04,9分)设有齐次线性方程组(n≥2)试问a为何值时,该方程组有非零解,并求其通解。(98,5分)已知三阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵(k为常数),且AB=0,求线性方程组Ax=0的通解。综述:总体上看这一部分考得不十分理想,看来在基础解系的理解与
5、把握上还有问题。复习时应当理解齐次线性方程组的基础解系与通解的概念,要掌握齐次线性方程组的基础解系与通解的求法,否则在特征向量的求解上还要出问题。n-r(A)这个数有两层含义,它既表示齐次线性方程组Ax=0的基础解系中有n-r(A)个解向量,又表示每个解中有n-r(A)个自由变量,搞清这个数会减少一些无谓的失误,目前考生在基础解系上解答得并不理想,希望引起重视。从2002年,2003年考题来看,对矩阵初等变换的要求明显比往年要高。二、非齐次线性方程组5.(96,3分)设,,,其中ai≠aj(i≠j,i,j=1,2,…,n),则线性方程A
6、Tx=B的解是。6.(08,6分)设n元线性方程组Ax=b,其中(Ⅰ)当a取何值时,该方程组有唯一解,并求x1;(Ⅱ)当a取何值时,该方程组有无穷多解,并求通解。这样的方程组要会解(1)设线性方程组(1)证明:若a1,a2,a3,a4,两两不相等,则此线性方程组无解。(2)设a1=a3=k,a2=a4=-k(k≠0),且已知β1,β2是该方程组的两个解,其中写出此方程组的通解。评注:也可把Ax=0的基础解系简写为。(2)(00,2,6分)设,,,A=αβT,B=βTα,其中βT是β的转置,求解方程2B2A2x=A4x+B4x+评注:特解不是唯一,例如令可有特解。
7、本题得分率较低,人均1.9分,主要错误是矩阵运算不正确,不能正确建立起线性方程组,也有些考生在方程组求解时犯种种错误。反映出基本概念、基本运算不过关。(3)已知4阶方阵A=(α1α2α3α4),α1,α2,α3,α4均为4维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,,如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解。评注:因为方程组Ax=β的向量形式为x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4那么利用α1=2α