考研线代 线性方程组题库.ppt

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1、第四章线性方程组线性方程组是否有解？若有解，那么一共有多少解？怎样求出其所有解？往年考题中，方程组出现的频率较高，大致有三种类型，一是非齐次线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)，二是齐次线性方程组基础解系的求解与证明，再者是有解，有非零解的判定及解的结构。向量的线性表示实际上也是一个方程组求解问题，而向量的线性相关实际上是齐次方程组是否有非零解的问题。一、齐次方程组有非零解、基础解系、通解等问题*1.(02，3分)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0(A)当n>m时仅有零解；(B)当n>m时必有非零解；(C)当m>n时

2、仅有零解；(D)当m>n时必有非零解。2.(02，8分)设齐次线性方程组其中a≠0，b≠0，n≥2，试讨论a,b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。评注：把第n行的-1倍加至第i行，i由1至n-1；然后把每行的-b倍均加至第n行。3.(03，13分)已知齐次线性方程组其中。试讨论a1,a2,…,an,和b满足何种关系时(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。先把第1行的-1倍依次加至其余各行，然后是把i行的-ai倍加至第1行(i=2,…,n

3、)，再将第1行移到最后一行。评注：本题行列式的计算方法特别多，不知你还会那些？你能用特征值的方法和理论求出的值吗？*4.(04,4分)设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系。(1)不存在；(2)仅含一个非零解向量；(3)含有两个线性无关的解向量；(4)含有三个线性无关的解向量。(96,6分)求齐次线性方程组的基础解系。*(98,5分)已知线性方程组(Ⅰ)的一个基础解系为(b11,b12,…,b12n)T，(b21,b22,…,b22n)T，…，(bn1,bn2,…,bn2n)T，试

4、写出线性方程组(Ⅱ)的通解，并证明理由。(01,6分)设α1,α2,…,αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,…,βs=t1αs+t2α1，其中t1,t2为实常数，试问满足什么关系时，β1,β2,…,βs也为Ax=0的一个基础解系。(04,9分)设有齐次线性方程组(n≥2)试问a为何值时，该方程组有非零解，并求其通解。(98,5分)已知三阶矩阵A的第一行是(a,b,c)，a,b,c不全为零，矩阵(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。综述：总体上看这一部分考得不十分理想，看来在基础解系的理解与

5、把握上还有问题。复习时应当理解齐次线性方程组的基础解系与通解的概念，要掌握齐次线性方程组的基础解系与通解的求法，否则在特征向量的求解上还要出问题。n-r(A)这个数有两层含义，它既表示齐次线性方程组Ax=0的基础解系中有n-r(A)个解向量，又表示每个解中有n-r(A)个自由变量，搞清这个数会减少一些无谓的失误，目前考生在基础解系上解答得并不理想，希望引起重视。从2002年，2003年考题来看，对矩阵初等变换的要求明显比往年要高。二、非齐次线性方程组5.(96,3分)设，，，其中ai≠aj(i≠j,i,j=1,2,…,n)，则线性方程A

6、Tx=B的解是。6.(08，6分)设n元线性方程组Ax=b，其中(Ⅰ)当a取何值时，该方程组有唯一解，并求x1；(Ⅱ)当a取何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。这样的方程组要会解(1)设线性方程组(1)证明：若a1,a2,a3,a4,两两不相等，则此线性方程组无解。(2)设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1，β2是该方程组的两个解，其中写出此方程组的通解。评注：也可把Ax=0的基础解系简写为。(2)(00,2,6分)设，，，A=αβT，B=βTα，其中βT是β的转置，求解方程2B2A2x=A4x+B4x+评注：特解不是唯一，例如令可有特解。

7、本题得分率较低，人均1.9分，主要错误是矩阵运算不正确，不能正确建立起线性方程组，也有些考生在方程组求解时犯种种错误。反映出基本概念、基本运算不过关。(3)已知4阶方阵A=(α1α2α3α4)，α1,α2,α3,α4均为4维列向量，其中α2,α3,α4线性无关，，如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解。评注：因为方程组Ax=β的向量形式为x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4那么利用α1=2α