2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2.2三角恒等变换的应用学案新人教A版必修第一册.docx

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1、第2课时　三角恒等变换的应用题型一　三角恒等变换与三角函数性质的综合　　　　　　　　　　　　【典例1】　已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．[思路导引]　先降幂，再用辅助角公式化为Asin(ωx＋φ)的形式，从而研究三角函数的性质．[解]　(1)∵f(x)＝sin＋2sin2＝sin＋1－cos＝2＋1＝2sin＋1＝2sin＋1，∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，有2x－＝2kπ

2、＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，∴所求x的集合为.(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．[针对训练]1．已知函数f(x)＝2sin(x－3π)·sin＋2sin2－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值．[解]　f(x)＝(2sinxcosx)＋(

3、2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin.(1)f(x)的最小正周期为π；最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sin.又∵f(x0)＝，∴sin＝.由x0∈，得2x0＋∈，∴cos＝－＝－，cos2x0＝cos＝coscos＋sinsin＝.题型二三角恒等变换在实际生活中的应用【典例2】　有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，

4、D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？[思路导引]　在△AOB中利用∠AOB表示OA，AB的长，然后表示出矩形面积：2OA·OB，从而得到面积与角间的函数关系，再通过求函数的最值得到面积的最值．[解]　画出图象如右图所示，设∠AOB＝θ，则AB＝asinθ，OA＝acosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，即S＝2acosθ·asinθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ.∵θ∈，∴2θ∈(0，π)，当2θ＝，即θ＝时，Smax＝a2，此时，A，D距离O点都为a.解决实际问题应首先设定主变

5、量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决．[针对训练]2.某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积(如右图)．[解]　连接OC，设∠COB＝θ，则0°<θ<45°，OC＝1.∵AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－sinθ，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cosθ－sinθ)·sinθ＝－sin2θ＋sinθc

6、osθ＝－(1－cos2θ)＋sin2θ＝(sin2θ＋cos2θ)－＝cos(2θ－45°)－.当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，Smax＝(m2)．∴割出的长方形桌面的最大面积为m2.课堂归纳小结1．辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中φ满足：(1)φ与点(a，b)同象限；(2)tanφ＝(或sinφ＝，cosφ＝)．2．研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要

7、公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sinx±cosx＝sin；sinx±cosx＝2sin等.1．若函数f(x)＝sin2x－(x∈R)，则f(x)是(　　)A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数[解析]　∵f(x)＝－＝－cos2x∴最小正周期T＝＝π，且为偶函数．[答案]　D2．函数y＝sin2x＋sin2x，x∈R的值域是(　　)A.B.C.D.[解析]　y＝sin2x＋＝sin＋∈，故选C.[答案]　C3

8、．函数f(x)＝sinx(cosx－sinx)的最小正周期是(　　)A.B.C．πD．2π[解析]　由f(x)＝sinx(cosx－sinx)＝sinxcosx－sin2x＝sin2x－＝sin－，可得函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，故选C.[答案]　C4．函数f(x)＝sinx－cosx，x∈的最小值为______．[解析]　∵f(x)＝＝sin，∵x∈，∴x－∈，∴f(x)的最