2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2.1简单的三角恒等变换学案新人教A版必修第一.docx

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1、第1课时　简单的三角恒等变换1．了解半角公式及推导过程．2．能利用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简及证明．3．掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应用．1．半角公式降幂公式半角公式sin2＝sin＝±cos2＝cos＝±tan2＝tan＝±2.辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)．(其中tanθ＝)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin15°＝±.(　　)(2)cos15°＝.(　　)(3)tan＝.(　　)(4)倍、半是相对而言的，α可以看成2α的半角，2α可以看成4α的半角．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)

2、×　(4)√14题型一　求值问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　【典例1】　已知sinα＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．[思路导引]　由α是的二倍，可以运用二倍角公式，同时注意的范围．[解]　∵π<α<，sinα＝－，∴cosα＝－，且<<，∴sin＝＝，cos＝－＝－，tan＝＝－2.　解决给值求值问题的思路方法(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．[针对训练]1．已知sin－cos＝－，450°<α<540°，求tan的值．[解]　由题意得2＝，即1

3、－sinα＝，得sinα＝.∵450°<α<540°，∴cosα＝－，14∴tan＝＝＝＝＝2.题型二三角函数式的化简【典例2】　化简：(180°<α<360°)．[思路导引]　利用二倍角公式将α角转化为角，注意被开方式子的正负．[解]　原式＝＝＝.又∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos<0，∴原式＝＝cosα.[变式]　若本例中式子变为：(－π<α<0)，求化简后的式子．[解]　原式＝14＝＝＝.因为－π<α<0，所以－<<0，所以sin<0，所以原式＝＝cosα.　化简问题中的“3变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通

4、过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．[针对训练]2．已知π<α<，化简：＋.[解]　原式＝＋，∵π<α<，∴<<.14∴cos<0，sin>0.∴原式＝＋＝－＋＝－cos.题型三三角恒等式的证明【典例3】　求证：＝.[思路导引]　注意到＝tan2θ，故可先变形(即用分析法证明)，再证明变形后式子的另一端也等于tan2θ.[证明]　要证原式，可以证明＝.∵左边＝＝＝＝tan2θ，右边＝

5、＝tan2θ，∴左边＝右边，∴原式得证．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．14[针对训练]3．求证：－2cos(α＋β)＝.[证明]　因为sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α

6、＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，两边同除以sinα得－2cos(α＋β)＝.课堂归纳小结1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．对半角公式的三点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cosα的值及相应α的条件，便可求出sin，cos，tan.(3)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目

7、，常用sin2＝，cos2＝求解．开方时需要注意角所在象限.1．已知cosθ＝－，且180°<θ<270°，则tan的值为(　　)14A．2B．－2C.D．－[解析]　∵cosθ＝－，且180°<θ<270°∴sinθ＝－＝－∴tan＝＝＝－2.[答案]　B2．下列各式中，值为的是(　　)A．sin15°cos15°B．cos2－sin2C.D.[解析]　选项A中，sin15°cos15°＝sin30°＝；选项B中，cos2－sin2＝cos＝；选项C中，原式＝×＝tan60°＝；选项D中，原式＝cos30°＝.故选B.[答案]　B3．若α∈，则化简的结果为(　　

8、)A．si