（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习第九章平面解析几何6第6讲双曲线教学案.docx

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1、第6讲　双曲线1．双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点

2、F1F2

3、为双曲线的焦距

4、

5、MF1

6、－

7、MF2

8、

9、＝2a2a<

10、F1F2

11、2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)实虚轴线段

12、A1A2叫做双曲线的实轴，它的长

13、A1A2

14、＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长

15、B1B2

16、＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(2)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．4．双曲线中一些常用的结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左

17、、右焦点，则

18、PF1

19、max＝a＋c，

20、PF2

21、min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为.(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2·，其中θ为∠F1PF2.[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F

22、2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．(　　)(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√[教材衍化]1．(选修21P61A组T1改编)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±

23、＝0，即bx±ay＝0，所以2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，所以5a2＝c2.所以e2＝＝5，所以e＝.答案：2．(选修21P62A组T6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．解析：设双曲线的方程为－＝±1(a＞0)，把点A(3，－1)代入，得a2＝8(舍负)，故所求方程为－＝1.答案：－＝13．(选修21P61练习T3改编)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由椭圆＋＝1，得焦点为

24、(±1，0)，顶点为(±2，0)．所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－＝1.答案：x2－＝1[易错纠偏](1)忽视双曲线的定义；(2)忽视双曲线焦点的位置；(3)忽视双曲线的渐近线与离心率的关系．1．平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________．解析：由

25、PF1

26、－

27、PF2

28、＝6＜

29、F1F2

30、＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线－＝1的下支．答案

31、：双曲线－＝1的下支2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________．解析：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan＝，b＝a，可得c＝2a，则e＝＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan＝，a＝b，可得c＝a，则e＝.综上可得e＝2或e＝.答案：2或3．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为____

32、____．解析：由条件知y＝－x过点(3，－4)，所以＝4，即3b＝4a，所以9b2＝16a2，所以9c2－9a2＝16a2，所以25a2＝9c2，所以e＝.答案：　　　　　　双曲线的定义(1)(2020·宁波高三质检)设双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且

33、PF1

34、∶

35、PF2

36、＝3∶4，则△PF1F2的面积等于(　　)A．10　　　　　　　　　B．8C．8D