浙江高考数学总复习第九章第6讲双曲线学案

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1、第6讲　双曲线最新考纲　了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(

2、F1F2

3、＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于

4、F1F2

5、且大于零)，则点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合P＝{M

6、

7、

8、MF1

9、－

10、MF2

11、

12、＝2a}，

13、F1F2

14、＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若ac

15、时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图　形性　质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长

16、A1A2

17、＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长

18、B1B2

19、＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c

20、2＝a2＋b2诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)-8-(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　　)(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)(4)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)解析　(1)因为

21、

22、MF1

23、－

24、MF2

25、

26、＝8

27、＝

28、F1F2

29、，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√2.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)A.(－1，3)B.(－1，)C.(0，3)D.(0，)解析　∵方程－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2

30、线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2

31、m

32、＝4，解得

33、m

34、＝1，∴－1

35、线的标准方程为________.解析　根据渐近线方程为x±2y＝0，可设双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ-8-≠0).因为双曲线过点(4，)，所以42－4×()2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为－y2＝1.答案　－y2＝15.(选修2－1P62A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.解析　设双曲线的方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求方程为－＝1.答案　－＝16.(2017·乐清调研)以椭圆＋y2＝1的焦点为顶点

36、，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________，离心率为________.解析　由题意可知所求双曲线方程可设为－＝1(a>0，b>0)，则a＝＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－3＝1，故双曲线方程为－y2＝1，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.答案　y＝±x　考点一　双曲线的定义及其应用【例1】(1)(2017·杭州模拟)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则e2

37、＝(　　)A.1＋2B.4－2C.5－2D.3＋2(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________.解析　(1)如图所示，因为

38、AF1

39、－

40、AF2

41、＝2a，

42、BF1

43、－

44、BF2

45、＝2a，

46、BF1

47、＝

48、AF2

49、＋

50、BF2

51、，所以

52、AF2

53、＝2a，

54、AF1

55、＝4a.所以

56、BF1

57、＝2a，所以

58、BF2

59、＝2a－2a.-8-因为

60、F1F2

61、2＝

62、BF1

63、2＋

64、