浙江大学微积分一习题解答 第零,一,二章(秋冬)

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1、～～calculusIchap00--02～～第〇章预备知识题2(p11)【1】设任意点x0∈(a,b)，证明总存在δ>0使得(x0−δ,x0+δ)⊂(a,b)『证』(1)若x0−aa(因为x0>a)x0+δ＝(3x0−a)/2=[(x0−a)+2x0]/2<[(b−x0)+2x0]/2＝(b+x0)/2

2、1)2n【2】利用数学归纳法证明(n!)≥n(n为正整数)『证』2n2n+1n=1时显然。设n时成立。即(n!)≥n。下证((n+1)!)≥(n+1)。由于((n+1)!)2＝(n!)2(n+1)2≥nn(n+1)n。故只需证明nn(n+1)2≥(n+1)n+1。这只需证明(1+1)n≤n+1（*）n下面介绍三种证法来验证(*)『方法1』用平均值公式n≤na1a2...an.1+1+...+1a1a2annn取a1=a2=...=an−1=1,an=n+1代入得1≤n+1此即(*)(n−1)+n+1『方法2』用二项定理。1n1n(n−1)12n(n−1)(n−2)13n(n

3、−1)(n−2)...211n(1+)＝1+n+()+()+⋯+()nn2n3!nn!n11112112n−1＝1+1+(1−)+(1−)(1−)+⋯+(1−)(1−)(1−)2!n3!nnn!nnn111<1+1+++...+<1＋1＋⋯+1=n+1。故(*)成立2!3!n!『方法3』接方法2，我们甚至可以证明1n111111(1+)<1+1+++...+<1+1+++...+<3.故(*)成立n2!3!n!1⋅22⋅3(n−1)n『方法4』1n用数学归纳法证明(1+)

4、)0,则(1)若f(x

5、)/x单调减少，则f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2)(2)若f(x)/x单调减少，则f(x1)+f(x2)≥f(x1+x2)『证明』f(x1+x2)f(x1)f(x1+x2)f(x2)(1)对x1,x2>0由f(x)/x单调减少,知≤，≤x1+x2x1x1+x2x2于是x1f(x1+x2)≤(x1+x2)f(x1)，x2f(x1+x2)≤(x1+x2)f(x2)相加即得结论。#题12(1)(p26)【4】试证f(x)＝1sin1在区间(0,1)上无界；在[δ,1](0<δ<1)上有界。xx『证』(1)只需证明，对任何G>0,有x∈(0,1)，使得

6、f(x)

7、>G.事实

8、上，对以上G>0,求x满足1sin1>G，这只要sin1=1且1>G。故可取x=1.xxxx2[G+1]π+π2显然以上x∈(0,1)，1＝2[G+1]π+1π>G，sin1=1，于是1sin1>G.因此，按定义知f(x)在区间(0,1)上无界.x2xxx(2).又

9、f(x)

10、＝

11、1sin1

12、≤1≤1.故f(x)在[δ,1](0<δ<1)上有界#xxxδ题19(4)(p27)3232【5】求反函数y=x+1+x+x−1+x『解』3232y=x+1+x+x−1+x32232323232y＝(x+1+x)+(x−1+x)+3x+1+xx−1+x(x+1+x+x−1+x)=2x−

13、3y21313于是反函数为x=(y+3y)或改写为y=(x+3x)#22第二章极限论题3(p69)▲【6】limnn＝1n→+∞『证1』即证对任何ε>0,有N>0,使得n>N时，

14、nn-1

15、<ε.记nn-1＝b>0,于是nn(n−1)2n(n−1)2222n=(1+b)=1+nb+b>1+b，则b<,于是b<22nn于是只要2<ε，n>2.于是取N=[2+1]即可。nε2ε2『证2』即证对任何ε>0,有N>0,使得n>N时，

16、nn-1

17、<εn记n-1＝b>0,于是nn(n−1)2n(n−1)222n=(1+b)=1