浙江大学微积分一习题解答 第十三章(秋冬)

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1、第十三章无穷级数题3(6)(p271)+∞1【1】用部分和判断敛散性∑arctann2+n+1n=1『证』x−y考虑将通项拆分成“加一项、减一项”的方式。利用arctanx-arctany=，于是1+xy11−11nn+111arctan=arctan=arctan=arctan−arctann2+n+1n(n+1)+111nn+11+⋅nn+1因此，部分和为nn111Sn＝∑arctan2＝∑(arctan−arctan)k+k+1kk+1k=1k=11＝arctan1－arctan→arctan1（n→∞）n+1π故级数收敛，且其和为#4题6(1)(i)(p272)+∞+∞【2】若∑

2、un收敛，则∑(u2k−1+u2k)收敛n=1k=1『证』这是因为收敛级数任意加括号后仍收敛。#题6(1)(ii)(p272)+∞+∞【3】若∑(u2k−1+u2k)收敛，un≥0,则∑un收敛k=1n=1『证』+∞+∞记∑(u2k−1+u2k)前n项的和为Tn。∑un前n项的和为Sn，则k=1n=1S2n＝Tn；S2n−1＝Tn−u2n+∞∑(u2k−1+u2k)收敛Îu2k−1+u2k→0(k→∞)Îu2k−1→0，u2k→0(k→∞)(因un≥0)k=1+∞故由上知n→∞时，S2n和S2n−1具有相同的极限，于是Sn收敛，即∑un收敛。#n=1题6(2)(p272)+∞+∞【4】若

3、∑(u2k−1+u2k)收敛，,则∑un未必收敛k=1n=1『解』如(1-1)+(1-1)+(1-1)+⋯收敛,1-1+1-1+1-1+⋯,不收敛(1−1)+(1−1)+...收敛,1−1+1−1+...收敛#2342341题6(3)(p272)+∞+∞【5】若∑(u2k−1+u2k)收敛，且limun＝0,则∑un必收敛n→∞k=1n=1『证』+∞+∞记∑(u2k−1+u2k)前n项的和为Tn。∑un前n项的和为Sn，则k=1n=1S2n＝Tn；S2n−1＝Tn−u2n；由limun＝0,limS2n＝limS2n−1＝limTnn→∞n→∞n→∞n→∞+∞+∞+∞因此于是Sn收敛，即

4、∑un收敛且∑un＝∑(u2k−1+u2k)#n=1n=1k=1题7(p272)▲【6】求曲线y=e−xsinx(x≥0)与x轴围成的图形的面积『证』+∞+∞(2n+1)π(2n+2)πA＝∫e−x

5、sinx

6、dx＝∑∫e−x

7、sinx

8、dx+∫e−x

9、sinx

10、dx02nπ(2n+1)πn=0+∞ππ＝∑∫e−2nπe−tsintdt+∫e−2nπ−πe−tsintdt00n=0+∞ππ+∞＝∑e−2nπ(1+e−π)∫e−tsintdt＝(1+e−π)∫e−tsintdt∑e−2nπ00n=0n=0而πππππ∫e−tsintdt＝−∫

11、e−tdcost＝−e−tcost−∫e−tcostdt＝(1+e−π)−∫e−tcostdt00000πππππ∫e−tcostdt＝∫e−tdsint＝e−tsint+∫e−tsintdt＝∫e−tsintdt00000π因此e−tsintdt＝1(1+e−π)∫20+∞+∞−2nπ−2πn1又∑e＝∑(e)＝−2π1−en=0n=0π+∞−π故A＝(1+e−π)e−tsintdte−2nπ＝(1+e−π)1(e−π+1)1＝11+e#∫∑2−2π2−π01−e1−en=0题9(2)(p272)▲∞∞1n【7】设0

12、a1a2...ann=1n=1『证』1n因0a1+a2+...+an.即≤ana1+a2+...+an2∞∞n1因此，由正项级数的比较判别法知，∑收敛时∑必收敛。a1+a2+...+anann=1n=1∞1反之，若∑收敛，由ann=12n2n2n1≤<=2a1+a2+...+a2nan+1+...+a2nnanan2n+12n+22n+21≤<=2a1+a2+...+a2n+1an+1+...+a2n+1(n+1)anan∞∞n1(1)(2)(1)记和的前k项之和分别为S和S。下面可估算S。∑a1+a2+...+an∑ankkkn=1n=1

13、若k=2n,则(1)(1)11111111S＝S≤(+2)+(2+2)+...+(2+2)+(2+2)k2naaaaaaaa1112n−2n−1n−1n11111≤5(+4+4...+4+2)a1a2a3an−1an11111≤5(++...++)a1a2a3an−1an111111(2)≤5(++...+++...+)＝5Saaaaaak123n−1n2n若k=2n+1,则(1)(1)S＝S≤k2n+1111111111(+2)+