初始后屈曲理论及其应用

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1、初始后屈曲理论及其应用范钦珊（清华大学工程力学系，北京100084）提要本文论述初始后屈曲理论的要点以及它在杆件、球壳、点支承圆柱等方面的应用。关键词屈曲，后屈曲，缺陷敏感性，分叉，平衡路径结构的后屈曲理论起始于30年代，但在40年代初，当Th.von.Karman和钱学森论证了某些类型的壳体结构屈曲荷载的理论与实验结果极不吻合，其原因在于这些结构的后屈曲状态极不稳定，才形成了与过去完全不同的后屈曲性态的研究。这就是弹性稳定的大挠度理论。大约在同一时期，在战时的荷兰，W.T.Koiter建立了承受保守载荷弹性系统稳定性的一般理论，即初始后屈曲理论。1943年Koit

2、er完成了他的博士论文。但直到1945年荷兰从德国占领下解放之后，Koiter才以荷兰文发表了他的这篇论文。由于语言关系，当时很少有人了解Koiter的伟大成果。60年代末，当美国的NASA将Koiter的论文全文翻译成英文之后，人们对初始后屈曲理论的兴趣，几乎同时在英国和美国迸发出来。初始后屈曲理论根据分叉点的特征，基于渐进分析，应用能量准则，确定完善结构对应于分叉点的临界载荷、邻近分叉点的初始后屈曲模态和平衡路径；判别基本状态、分叉点以及初始后屈曲状态的稳定性；研究结构屈曲对于初始微小缺陷的敏感性。一、平衡路径分叉与分叉点假设作用在结构上的外部载荷规定为单位载荷

3、系统与载荷参数λ之乘积。进而假设载荷是保守的。于是，对于弹性结构以及上述载荷组成的机械系统，其位能存在。考察图1中所示的平衡路径，其中路径Ⅰ称为基本状态或前屈曲状态。在基本状态下，位移矢量U(λ)是载荷参数连续可微函数，且当λ=0时，其值为零。当0≤λ<λ1时，基本状态的平衡路径是稳定的，λ1为载荷参数的临界值；当λ>λ1时，基本状态的平衡路径是不稳定的。在临界点（λ=λ1）处，平衡方程的另一个解，从基本状态分叉出来，形成平衡路径的分叉Ⅱ，称为平衡的邻近状态。因而临界点又称为分叉点。在分叉点处，分叉Ⅰ和Ⅱ之间，稳定性发生改变。图1中实线表示稳定分支；虚线为不稳定分支

4、。临界点可以由两个相当的准则所表征。其一是，在临界点处，在相应的载荷作用下，存在无限邻近的平衡构形。其二是，稳定性的能量准则：在分叉的稳定部分（基本状态），位能最小；而在不稳定部分，位能仅为驻值。临界点则由位能二阶变分半正定所表征。尽管所有临界点都有类似的线性特征问题所表征，在与临界载荷相邻的载荷下，结构的实际性态却是很不相同的。例如，平板能承受其所在平面内大大超过临界值的载荷。某些壳体结构，仅当载荷超过由线性理论确定的临界值的几分之一时，便丧失承载能力。这种现象只有在研究了载荷稍高和稍低于临界值时所有邻近的平衡构形之后，才可能理解。这种研究要求比隐含在线性理论中的

5、近似更高一级的近似。更精确的一般分析，所得到的重要结果是，初始后屈曲阶段的性态完全取决于临界载荷下平衡的稳定或不稳定性。或者说，初始后屈曲阶段的性态取决于临界分叉点是依然属于基本分叉Ⅰ的稳定部分，还是将其视为基本分叉的不稳定部分。因为临界点处位能的二次变分半正定，所以为了回答上述问题，必须研究位能的高阶变分。1二、稳定性的能量准则从基本状态Ⅰ通过附加的位移场u，得到与之相邻的构形，即状态Ⅱ位能增量P−P=P[u]ⅡⅠ它是运动学许可位移场u的泛函。基本状态稳定的充要条件是，位能增量恒为正，即P[u]≥0（1）位能增量可以展成如下形式*P[u]=P2[u]+P3[u]+

6、L+Pn[u]+L+P[u]（2）m假设位移场u的几何条件都是线性和齐次的，于是根据（1）和（2），稳定的必要条件为P[u]≥0（3）2关于稳定充分条件的推导，则是一个困难得多的问题。引入一个辅助的二次泛函T[u]，2它也是体积分和面积分之和。T[u]的被积函数是u和u的齐次正定二次型，具有连续可2ii,j微的系数。除了这些限制外，T[u]完全是任意的。现在假定最小问题2P2[u]ω=min（4）1T[u]2作为一个解，一旦作出这个解，即可证明：ω>0是基本状态稳定性的充分条件。必要条件1当然也可以重新表示为ω≥0的形式。在临界情形下，ω=0，它表征着分叉问题的分叉

7、点。11三、临界点的稳定性为了研究由最小问题（4）的一个解ω=0所表征的临界点的稳定性，需要使ω=0的位11移场的一般形式。它也是临界平衡方程的一般解。令u(h=1,2,L,n)表示临界平衡方程的h一组线性无关解。于是，最小化位移场的一般形式为u=au（5）hh采用Einstein求和规则，对上式中的重复下标自1至n求和。不失一般性，可以假设屈曲模态u关于辅助二次泛函T[u]是正交正则化的，即满足h2⎧T11[uh,uj]=0,(h≠j)⎨（6）T[]u=1,()h=j⎩2h双线性泛函T[]u,v有位移场u,v的下列恒等式所定义112T[]u+v=T[u]+T[