2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4.3不同函数增长的差异学案新人教A版.docx

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1、4．4.3　不同函数增长的差异1．尝试将实际问题转化为函数模型．2．了解指数函数、对数函数及一次函数等函数模型的增长差异．3．会根据函数的增长差异选择函数模型．1．指数函数、对数函数、一次函数的性质2.指数函数、对数函数、一次函数的增长差异(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝kx(k>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会

2、越来越慢．(3)存在一个x0，使得当x>x0时，有logax1，k>0)．1．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x.(1)函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？(2)函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？[答案]　(1)函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值增大(2)各函数增长的速度不同，其中f(x)＝2x增长得最快，其次是g(x)＝2x，最慢的是h(x)＝log2x2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝3x比y＝2x增长

3、的速度更快些．(　　)(2)当x>100时，函数y＝10x－1比y＝lgx增长的速度快．(　　)(3)能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数．(　　)(4)当a>1，k>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax

4、)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数函数变化的变量是________．[思路导引]　借助指数函数、对数函数、一次函数的增长差异作出判断．[解析]　(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝x增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．[答案]　(1)D　(2)y2　常见的函数模型及增长特点(1)线

5、性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．[针对训练]1．下列函数中，增长速度最慢的是(　　)A．y＝6xB．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x[解析]　对数函数的

6、增长速度越来越慢．选B.[答案]　B2．有一组数据如下表：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)A．v＝log2tC．v＝D．v＝2t－2[解析]　从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.[答案]　C函数模型的选择问题【典例2】　芦荟是一种经济作物，可以入药，有美容、保健的功效．某人准备栽培并销售芦荟，为了解行情，进行市场调研．从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/千克)与上市时间t(单位：天)的数

7、据情况如下表：上市时间t50110250种植成本Q15.010.815.0(1)根据表中数据，从下列选项中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数式：①Q＝at＋b，②Q＝at2＋bt＋c，③Q＝a·bt，④Q＝alogbt；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．[思路导引]　要选择最能反映芦荟种植成本与上市时间之间的变化关系的函数式，应该分析各函数的变化情况，通过研究这些函数的变化趋势与表格提供的实际数据是否相符来判断哪个函数是最优函数模型．[解]　(1)由表中所提供的数据可知，反映芦荟种植成本Q与

8、上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，故用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个