2019_2020学年高中数学第4章指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.3不同函数增长的差异教学案新人教A版.docx

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1、4.4.3　不同函数增长的差异(教师独具内容)课程标准：利用计算器、计算机画出幂函数、指数函数、对数函数的图象，探索、比较它们的变化规律．教学重点：比较一次函数、指数函数、对数函数增长的快慢差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．教学难点：指数函数、幂函数不同区间增长快慢的差异.【知识导学】知识点　几种函数模型的增长差异(1)当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快

2、．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大，其函数值的增长就越快．(4)一般地，虽然指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同，随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于y＝kx的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，ax会小于kx，但由于指数函数y＝ax(a>1)的增长最终会快于一次函数y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存

3、在一个x0，当x>x0时，恒有ax>kx.(5)一般地，虽然对数函数y＝logax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax

4、)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．(　　)(2)函数y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(　　)

5、(3)对数函数y＝logax(a＞1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．做一做(1)下图反映的是下列哪类函数的增长趋势(　　)A．一次函数B．幂函数C．对数函数D．指数函数(2)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　)A．y＝100xB．y＝100lnxC．y＝x100D．y＝100·2x(3)已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1个单位时，y的变化情况是________．答案　(1)C　(2)

6、D　(3)减少3个单位题型一几类函数模型增长差异的比较例1　四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：关于x呈指数函数变化的变量是________．[解析]　以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．[答案]　y2金版点睛常见的函数及增长特点(1)线性函数线性函数y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2

7、)指数函数指数函数y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数对数函数y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数幂函数y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．　有一组数据如下表：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)A．v＝log2tB．v＝logtC．v＝D．v＝2t－2答案　C解析　从表格中看到此函数为单调增

8、函数，排除B；增长速度越来越快，排除A，D，选C．题型二指数函数、对数函数与幂函数的比较例2　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1