无穷级数讲解及题型

《无穷级数讲解及题型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、主要内容u为常数u为函数u(x)nunnnn1常数项级数取xx0函数项级数一正任收幂级数三角级数般意项敛项项级半泰勒展开式傅氏展开式级级数数数径Rn(x)0满足狄氏条件R泰勒级数傅氏级数在收敛级数与数条件下相互转化数数或函数函数1、常数项级数定义unu1u2u3unn1n级数的部分和snu1u2unuii1级数的收敛与发散常数项级数收敛(发散)lims存在(不存在).nn收敛级数的基本性质性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质3:在级数前面加上有限项不影

2、响级数的敛散性.性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.级数收敛的必要条件:limu0.nn常数项级数审敛法一般项级数正项级数任意项级数1.若SS,则级数收敛;n2.当n,u0,则级数发散;n3.按基本性质;4.绝对收敛4.充要条件4.绝对收敛5.比较法5.交错级数6.比值法(莱布尼茨定理)7.根值法2、正项级数及其审敛法定义un,un0n1审敛法正项级数收敛部分和所成的数列s有界.n(1)比较审敛法若un收敛(发散)且vnun(unvn),n1则vn收敛(发散).n1(2)比较审敛法的极限形式un设un与v

3、n都是正项级数,如果liml,nvn1n1n则(1)当0l时,二级数有相同的敛散性;(2)当l0时，若vn收敛,则un收敛;n1n1(3)当l时,若vn发散,则un发散;n1n1(3)极限审敛法设un为正项级数,n1如果limnul0(或limnu),nnnn则级数un发散;n1p如果有p1,使得limnu存在,nn则级数un收敛.n1(4)比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)un1设un是正项级数,如果lim(数或)nun1n则1时级数收敛;

4、1时级数发散;1时失效.(5)根值审敛法(柯西判别法)设un是正项级数,n1如果limnu(为数或),nn则1时级数收敛;1时级数发散;1时失效.3、交错级数及其审敛法定义正、负项相间的级数称为交错级数.n1n(1)un或(1)un(其中un0)n1n1莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(ⅰ)uu(n1,2,3,);(ⅱ)limu0,则nn1nn级数收敛,且其和su,其余项r的绝对值1nru.nn14、任意项级数及其审敛法定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定理若un收敛,则

5、un收敛.n1n1定义:若un收敛,则称un为绝对收敛;n1n0若un发散,而un收敛,则称un为条件收敛.n1n1n15、函数项级数(1)定义设u(x),u(x),,u(x),是定义在IR上的12n函数,则un(x)u1(x)u2(x)un(x)n1称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数.(2)收敛点与收敛域如果x0I,数项级数un(x0)收敛,n1则称x为级数u(x)的收敛点,否则称为发散点.0nn1函数项级数u(x)的所有收敛点的全体称为收敛域,nn1所有发散点的全体称为发散域.(3)

6、和函数在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x),称s(x)为函数项级数的和函数.6、幂级数(1)定义n形如a(xx)的级数称为幂级数.n0n0n当x00时,anxn0其中a为幂级数系数.n(2)收敛性定理1(Abel定理)n如果级数anx在xx0(x00)处收敛,则n0它在满足不等式xx0的一切x处绝对收敛;n如果级数anx在xx0处发散,则它在满足n0不等式xx0的一切x处发散.推论n如果幂级数anx不是仅在x0一点收敛,也n0不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质:当xR时,幂级数绝

7、对收敛;当xR时,幂级数发散;当xR与xR时,幂级数可能收敛也可能发散.定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.n定理2如果幂级数anx的所有系数an0,n0a设limn1(或limna)nnann1(1)则当0时,R;(2)当0时,R;(3)当时,R0.(3)幂级数的运算a.代数运算性质:nn设ax和bx的收敛半径各为R和R,nn12n0n0RminR,R12加减法nnnanxbnxcnx.xR,Rn0