高三数学《极坐标与参数方程》复习专题含答案.doc

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1、极坐标与参数方程专题复习题方法总结1.点M(ρ，θ)的极坐标通式是(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z).如果限定ρ>0，0≤θ<2π或－π<θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标(ρ，θ)一一对应.2.极坐标和直角坐标的互化公式是或.这两组公式必须满足下面的“三个条件”才能使用：(1)原点与极点重合；(2)x轴正半轴与极轴重合；(3)长度单位相同.极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性，特别是两边乘以ρn时，方程增了一个n重解ρ＝0，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解.3.极坐标方程的应用及求法(1)合理建立

2、极坐标系，使所求曲线方程尽量简单.(2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉的知识解决问题.(3)利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出关于极坐标(ρ，θ)的方程是求极坐标系曲线方程的法宝.(4)极坐标系内点的对称关系：①点P(ρ，θ)关于极点的对称点P′(ρ，θ±π)；②点P(ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点P′(ρ，－θ)；③点P(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点为P′(ρ，π－θ)；④点P(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点为P′.4.极坐标系下A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)间的距离公式

3、AB

4、＝1.选

5、取参数时的一般原则是：(1)x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；(2)当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；(3)在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数.2.求曲线的参数方程常常分成以下几步：(1)建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P(x，y)；(2)选择适当的参数；(3)找出x，y与参数的关系，列出解析式；(4)证明(常常省略).3.根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：(1)若M1，M2为l上任意两点，M1

6、，M2对应t的值分别为t1，t2，则

7、M1M2

8、＝

9、t1－t2

10、；(2)若M0为线段M1M2的中点，则有t1＋t2＝0；(3)若线段M1M2的中点为M，则M0M＝tM＝.一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则tP＝.直线的参数方程的一般式(t为参数)，是过点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程.当且仅当a2＋b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义.将非标准方程第22页共22页化为标准方程是(t′∈R)，式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负.5.参数方程与普通方程互化时，要注意：(1)

11、不是所有的参数方程都能化为普通方程；(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；(3)把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的.6.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解.7.在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解.8.在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解.典型题【母题原题1】极坐标方程例1.在平面

12、直角坐标系中，圆，直线.(1)以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆和直线的交点的极坐标；(2)若点为圆和直线交点的中点，且直线的参数方程为(为参数)，求，的值.【答案】（1）和点；（2），.解析：(1)由题可知，圆的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，由，可得或，可得圆和直线的交点的极坐标为和点第22页共22页.(2)由(1)知圆和直线的交点在平面直角坐标系中的坐标为和，那么点的坐标为，又点的坐标为，所以直线的普通方程为，把(为参数)代入，可得，则，即，.练习1.在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数).以坐标原点为极点，轴的

13、正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）设

14、与的交点为，求的面积.【答案】（1）的极坐标方程为；（2）的面积为.试题解析：（Ⅰ）直线的直角坐标方程为圆的普通方程为因为,所以的极坐标方程为（Ⅱ）将代入,得,解得,故,即.由于圆的半径为,所以的面积为第22页共22页练习2.在直角坐标系中，直线的方程是，圆的参数方程是（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别求直线与圆的极坐标方程；（2）射线:（）与圆的交点为，两点，与直线交于点，射线:与圆交于，两点，与直线

15、交于点，求的最大值．【答案】(1),；（2）.【解析】试题分析：（1）利用直角坐标与极坐标的互化公式，即可求得直线和圆的极坐标方程；（2）由题意可得：点，的极坐标，可得，同理可得：，即可得出结论．试题解析：（1）直线l的