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时间:2019-06-30
《高考文科数学复习专题 极坐标与参数方程》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1.曲线的极坐标方程.(1)极坐标系:一般地,在平面上取一个定点O,自点O引一条射线Ox,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系.其中,点O称为极点,射线Ox称为极轴.(2)极坐标(ρ,θ)的含义:设M是平面上任一点,ρ表示OM的长度,θ表示以射线Ox为始边,射线OM为终边所成的角.那么,有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标.显然,每一个有序实数对(ρ,θ),决定一个点的位置.其中ρ称为点M的极径,θ称为点M的极角.极坐标系和直角坐标系的最大区别在于:在直角坐标系中,平面上的点与有序数
2、对之间的对应关系是一一对应的,而在极坐标系中,对于给定的有序数对(ρ,θ),可以确定平面上的一点,但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的.(3)曲线的极坐标方程:一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程.2.直线的极坐标方程.(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ=φ0和θ=π-φ0,如下图所示.第8页共8页(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a,0)的直线的极坐标方程是ρcosθ=a,如下图所示.(3
3、)与极轴平行且在x轴的上方,与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsinθ=a,如下图所示.3.圆的极坐标方程.(1)以极点为圆心,半径为r的圆的方程为ρ=r,如图1所示.(2)圆心在极轴上且过极点,半径为r的圆的方程为ρ=2rcos_θ,如图2所示.(3)圆心在过极点且与极轴成的射线上,过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ,如图3所示.第8页共8页4.极坐标与直角坐标的互化.若极点在原点且极轴为x轴的正半轴,则平面内任意一点M的极坐标M(ρ,θ)化为平面直角坐标M(x,y)的公式如下:或者ρ=,tanθ=,其中要结合点所在的象
4、限确定角θ的值.1.曲线的参数方程的定义.在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数,即并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x,y之间关系的变数t叫做参变数,简称参数.2.常见曲线的参数方程.(1)过定点P(x0,y0),倾斜角为α的直线:(t为参数),其中参数t是以定点P(x0,y0)为起点,点M(x,y)为终点的有向线段PM的数量,又称为点P与点M间的有向距离.第8页共8页根据t的几何意义,有以下结论:①设A,B是直线上任意两点,
5、它们对应的参数分别为tA和tB,则
6、AB
7、=
8、tB-tA
9、=;②线段AB的中点所对应的参数值等于.(2)中心在P(x0,y0),半径等于r的圆:(θ为参数)(3)中心在原点,焦点在x轴(或y轴)上的椭圆:(θ为参数).中心在点P(x0,y0),焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程为(α为参数).(4)中心在原点,焦点在x轴(或y轴)上的双曲线:(θ为参数).(5)顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上的抛物线:(t为参数,p>0).注:secθ=.3.参数方程化为普通方程.由参数方程化为普通方程就是要消去参数,消参数时常常采用代入消元法、
10、加减消元法、乘除消元法、三角代换法,消参数时要注意参数的取值范围对x,y的限制. 第8页共8页1.已知点A的极坐标为,则点A的直角坐标是(2,-2).2.把点P的直角坐标(,-)化为极坐标,结果为.3.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标方程为x2+(y-2)2=4.4.以极坐标系中的点为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ=2cos.5.在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(θ为参数)的右顶点,则常数a的值为3.解析:由直线l:得y=x-a.由椭圆C:得==1.所以椭圆C的右顶点
11、为(3,0).因为直线l过椭圆的右顶点,所以0=3-a,即a=3.一、选择题1.在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,-).若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是(C)A.B.C.D.2.若圆的方程为(θ为参数),直线的方程为(t为参数),则直线与圆的位置关系是(B)A.相离B.相交C.相切D.不能确定第8页共8页3.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得
12、的弦长为(D)A.B.2C.D.2解析:由题意可得直线和圆的方程分别为x-y-4=0,x2+y2=4x,所以圆心C(2,0),半径r=2,圆心(2,0)到直线l的距离d=,由半径,圆心距,半弦长构成直角三角
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