多项式四则运算错误类型的调查研究.doc

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1、國二生多項式四則運算錯誤類型之調查研究郭正仁1謝哲仁21高雄市立小港國民中學2美和技術學院（投稿日期：91年10月21日；修正日期：91年11月5日；接受日期：92年2月24日）摘要多項式四則運算為代數運算的基礎，也是算術與代數之間的重要橋樑。本研究藉由高市58位數學教師的專業知識及262名國二生的紙筆測驗，來分析學生的錯誤情形與類型，伴隨非結構性的面談，來探究其原因。研究發現學生在圖形題方面最易產生錯誤，文字題的空白佔有率最高，除法逆運算的認知最難，而常有定義認知、類推、括號、移項等方面的錯誤類型。問題結構的表徵錯誤、定義公式等基模知識的認知不足及舊經驗的不當類推，是形成錯誤

2、的主要原因，而語言轉譯、基模、策略、程序知識的缺乏與圖形的直覺映像，更憑添文字題與圖形題在轉換成代數表徵時的錯誤。關鍵詞：多項式、錯誤類型壹、緒論VonGlasersfeld（1987）認為建構知識的過程必須是主動的，而非被動的灌輸吸收，在此過程中，可能產生錯誤的概念，造成學習的困擾並影響未來的學習（林清山、張景媛，1994），所以邱上真(1992)呼籲應格外重視以歷程為導向的錯誤類型分析。黃敏晃（1998）也認為學生學習的歷程與結果常會反應在其解題的錯誤上，若能找出其犯錯的理由，則可匡正與預防學生的犯錯行為，並作為補救教學的參考。目前關於國小算術的四則運算與錯誤類型的研究比比

3、皆是，但對於國中多項式四則運算錯誤類型的研究，卻是乏人問津，若能使學生具備正確的多項式四則運算概念，則對於初等代數的學習，將助益良多，尤其我們現在正推行的九年一貫的課程，在數學領域中，算術與代數的銜接，就是重要的工作項目之一。本研究的目的有四：（一）了解一般學生在多項式四則運算之錯誤情形（二）探討多項式四則運算之錯誤類型（三）分析多項式四則運算之錯誤原因（四）提供教學、評量、補救策略、研究上的參考。貳、文獻探討一、算術運算的錯誤類型多項式四則運算除了代數文字符號與小學算術運算中所使用的數字符號，有顯著的不同外，另外，我們也常發現，學生在小學階段，其運算概念的發展就不完全。例如B

4、rown&Burton（1978）發現學生在做直式減法時，常以大數來減小數。Benander和Clement（1985）則認為在除法上常犯次序的錯誤（5÷3＝3/5）、負數乘以負數等於正數誤用於加減法運算上（－3－5＝8）、負數乘以負數等於負數、負號的分配錯誤，例：－（A＋B）＝－A＋B。國內劉天民（1993）研究發現學生常將乘方當作乘法（42＝8）、誤用運算符號（3＋4＝3×4＝12；6÷1/2＝6×1/2＝3）、－32與（－3）2混淆、帶分數化成假分數的錯誤（－2＝－）、減法及除法具有交換律。而我們在初級中學的教學中也發現，學生常將符號運算的和小學帶分數的混淆。Booth（

5、1984）就指出學生在做分數運算時，常分子與分母各自獨立運算（1/5＋2/5＝3/10），而除法法則的適用法則，學生就常認為非得是大數除以小數。小學生對於等號的認知也和國中全然不同，Kieran(1989)就指出，小學生的等號是imply的亦即是數學符號的，例如3+47，7是3加4的結果(causesaresult)但國中的等號有等價的意思，亦即是數學符號的。如此推論當學生作符號運算(x+2)+(x+1)，到最後是2x+3，大部份的學生認為這是未結束的，急著將最後的x以一熟悉的數字代入運算。二、代數運算的錯誤類型多項式四則運算乃是代數運算的基礎，對於未來知識的學習，影響甚遠.，

6、郭汾派（1991）認為使用文字符號是國中生從算術到代數的一個重要橋樑，更是數學抽象化與形式化的重要步驟，而學生主要的錯誤是：係數文字分別處理、單項式才是答案、不同類項擺在一起（2a＋5b＝7ab）、不會使用括號（5乘以（e＋2）＝5e＋2）。Matz（1982）則認為學生喜歡使用不恰當的外推法。例如：（A＋B）2＝A2＋B2，1/a＋1/b＝1/（a+b）；sin（α＋β）＝sinα＋sinβ等等。張素鎔（1987）指出，學生認為答案通常是“數”，如果不是，最好也是單項式。三、文字題或圖形題所造成的錯誤類型在文字題上，受到題目的複雜度、未知數的多寡、符號及式子組合的影響，較容易

7、產生錯誤概念，大部份的學生從左到右去逐字翻譯題意，設定未知數，Kieran(1989)稱為這是表面結構(surfacestructure)的句型錯誤(syntacticerror)，最典型的例子就是²6s=p的教授學生數²問題(Clement,1982)。Schoenfeld（1985）認為學生過於依賴句中的關鍵字，而未能真正瞭解題目上的語意，McLoughlin（1998）則認為學生缺乏基本的語文技巧，而被抽象的文字所阻礙。Mayer（1987）指出，學生在問題轉譯時容易產生語言知識的錯誤