多项式的四则运算

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1、§多項式的四則運算主題1：多項式基本概念1.將數及具有數的性質的文字符號等，經過加、減、乘的運算後所形成之式子，就叫多項式。2.定義：形如，其中是正整數或零；都是數，此式子稱為的多項式，此時稱為次項的係數，稱為常數項。係數可以是整數、有理數、實數或複數。3.所有整係數多項式所成集合稱為整係數多項式集，以表示。同理，以分別表有理係數多項式集、實係數多項式集、複係數多項式集。4.次數：當時，叫做多項式的次數，以表示，而稱為的領導（首項）係數。5.常數多項式：只有項的多項式稱之，有兩種：(1)零多項式：即為0，沒有次數。(2)零次多項式：除零多項式外之常數多項式，其次數

2、為0。6.排列方式：多項式之次數由小而大的排列方式稱為升冪排列，反之則稱為降冪排列。7.多項式相等：設，為兩多項式，其中，則的充要條件為且。※，，，，：領導係數若※多項式之文字符號不可在絕對值，分母，根號。１１※重要範例1.下列何者是x的多項式？(A)+3　(B)2x+1　(C)x2+x+1　(D)　(E)

3、x

4、。【解答】(C)【詳解】多項式之文字符號不可在絕對值，分母，根號。隨堂練習.下列何者為x的多項式？(A)x2+x+　(B)x2++2　(C)x2y+++　(D)x2+

5、x

6、+1　(E)+2x+1【解答】(A)(C)【詳解】多項式之文字符號不可在絕對值，分母

7、，根號。2.設a，bÎR，多項式f(x)=a(x3-x2)+b(x3-x+2)+x2+ax+2為一次式，則(A)a=0　(B)b=0　(C)a+b=0　(D)f(x)之領導係數為2　(E)f(x)=2x+4【解答】(C)(D)【詳解】即f(x)=(a+b)x3+(1-a)x2+(a-b)x+2(b+1)為一次式∴　a+b=0，1-a=0，a-b¹0　∴　a=1，b=-1，（a-b¹0，合）∴　f(x)之領導係數為a-b=2，f(x)=2x3.若對任何實數x，恆為定值，求a及的值（a，b為常數）。【解答】a=；=【解1】對任意x，恆為定值即分子被分母整除且其商為一常

8、數，此常數必為（領導係數的比值）即分子與分母之各項係數對應成比例，==∴　a-1=　Þ　a=，=　Þ　=【解2】設=k（定值），則2x2+(a-1)x+3b=3kx2+2kx+ak恆成立對應項係數相等，2=3k，a-1=2k，3b=ak　Þ　k=，a=，==１１主題2多項式四則運算1.加減法：同次項對應項相加減。次數滿足與之較大者）。2.乘法：以分配律各單項相乘，同次整理合併。其次數滿足。3.，若為x的多項式，則Û。※：次多項式，，4.除法：設、為二多項式且不是零多項式，則恰有二多項式【商式】及【餘式】滿足：，其中或　，除法較常用的方法為長除法和綜合除法。5.除法

9、原理：，。6.設，則(1)常數項。(2)係數和=。(3)偶次項係數和=，奇次項係數和=。(4)。(5)。１１※重要範例1.設多項式f(x)，g(x)的次數各為m，n，即degf(x)=m，degg(x)=n，m，n為非負的整數，則(A)deg[f(x)+g(x)]=m或n　(B)deg[f(x)．g(x)]=m+n　(C)degf(g(x))=mn　(D)deg[f(x)-g(x)]=m或n　(E)f(x)除以g(x)的商為m-n次多項式。【解答】(B)(C)【詳解】(A)(D)deg[f(x)±g(x)]=不一定，情形如下(1)m=n(2)=max{m，n}，m

10、¹n=，m¹n(B)deg[f(x)．g(x)]=degf(x)+degg(x)=m+n(C)degf(g(x))=mn(E)當m³n時，f(x)除以g(x)的商為(m-n)次當m

11、+4-3=2(C)f(x)的各項係數和為=f(1)=(-1)．13=-13(D)f(x)的各奇次項係數和為==-9(E)f(x)的領導係數=3x11的係數=33.若多項式x3+4x2+5x-3除以f(x)之商式為x+2，餘式為2x-1，則f(x)=　　　　　。【解答】x2+2x-1【詳解】由除法定理知x3+4x2+5x-3=f(x)(x+2)+2x-1　∴　f(x)(x+2)=x3+4x2+3x-2除以x+2得f(x)=(x3+4x2+3x-2)¸(x+2)=x2+2x-1隨堂練習.設x3+4x2+5x-3除以f(x)之商式為x+2，餘式為2x-1，則f(x)=　

12、　　　　。