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1、分式方程的增根探讨摘要：教学分式方程应研究增根问题。增根必须同时满足两个条件,缺一不可：分式方程的增根能使分式方程转化成整式方程时，方程两边同时乘以的最简公分母等于0；分式方程的增根能使分式方程转化成的整式方程成立。关键词：增根；最简公分母；分式方程中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号:1008-3561(2015)20-0070-01分式方程的增根问题，是分式方程教学的一个难点，许多学生学过以后也是似懂非懂。老师讲这一课时，同样感到很吃力。因此，在教学实践中，要重视研究分式方程的增根。首先，需明确分式方程的增根产生：在解分式方程的过程中，分式方程转化为整
2、式方程(去分母)时，未知数的范围扩大了，就会产生增根。增根必须同时满足以下两个条件：分式方程的增根能使分式方程转化成整式方程时，方程两边同时乘以的最简公分母等于0；分式方程的增根能使分式方程转化成的整式方程成立。要清醒的认识到：增根一定能使最简公分母等于0,反过来，能使最简公分母等于0的未知数的值，却不一定是分式方程的增根。其次，不是每个分式方程都有增根。解分式方程的三个常见误区如下。误区一：认为能使分式方程转化为整式方程时，方程两边同时乘以的最简公分母等于0的未知数的值，都是分式方程的增根。例］:解方程二2-求它的增根。解：因为方程有增根,所以令X-3二0,得到x
3、二3,因此，方程的增根是x二3。点评：本题的解法是正确的。这个分式方程化成的整式方程是x=2(x-3)+3,解x二3,同时满足增根的两个条件。例2：解分式方程+二。最简公分母是x(x+1)(x-1),若x(x+1)(x-1)二0,贝ijx二0或1或-1,这3个值显然不都是增根。转化成的整式方程的解x二1,因此，只有x二1是增根，另外两个值不符合前面提到增根的必须条件的第二个条件。点评：一定要注意增根所必须同时满足的两个条件。误区二「认为分式方程的增根和分式方程无解是等同的。这是错误的,当分式方程无解时，分式方程可能有增根；还有另一种可能，分式方程转化成的整式方程如果
4、没有解，那么分式方程也是无解的。出现这种错误的原因是常见这样一类题目，举例如下。例］:+二①解：方程两边都乘以b(b-1),得3(b-1)+6b二b+5.②解这个方程，得b二1。经检验：当b二1时，原方程无意义，所以b二1是原方程的增根。所以，原方程无解。分析：显然，方程①中未知数b的取值范围bHO且b^l,在去分母化为方程②后，未知数b的取值范围扩大为全体实数，所以当求得的b值恰好使最简公分母为零时，b的值就是增根。木题中方程②的解b二1,恰好使公分母为零，所以b二1是原方程的增根，原方程无解。例2:解方程二+2。解:去分母后可得到,y+1二2-y+2(y-3),
5、进一步整理可得到，0y二-5,因为此方程无解，所以，原分式方程无解。分析：此方程化为整式方程后，木身就无解，当然原分式方程肯定就无解了。可见，分式方程无解，不一定就产生增根。遇到下面题型时，无解就不单单是增根了。例3：n为何值时，关于x的方程+二无解。正确的解答：方程两边都乘以(x+2)(x-2),得到(n-1)x二-10,因为方程有增根，则x=2或-2代入(n-1)x二TO中可得n二-4或n二6,若(n-1)x二TO没有解，则n二1。因此，n=l或-4或-6时方程无解。分析：在这个问题中，分式方程无解，既包括方程有增根，又包括分式方程化成的整式方程无解这两种可能。
6、误区三：忽视增根的存在。例如：已知关于x的方程-2二有一个正数解，求n的取值范围。(错解)去分母得x-2(x-3)=n所以x二6-n,由题意知x>0,所以6~n>0,得到n〈6。错解分析：忽视了分式方程有可能产生增根的情况，即还需满足xH3,即6-口工3,n^3o正确答案：*6且nH3。综上所述，对于分式方程一定要明确增根，同时必须验根。以下，列举了解分式方程出现增根的比较有代表性的题型。例1：已知关于x的方程a2-二有增根，试确定的&的值是()：A.2；B.-2；C.±2；D.与a无关。分析：首先确定增根为n二2,然后把x=2代入分式方程化成的整式方程即可。解：去
7、分母并且化简得：(a2-2)x二4,因为原方程的增根为x=2,把x二2代入得a2=4,所以a=±2,因此应选C。例2：如果分式方程有增根，那么b的值是（）：A.-1或-2；B.-1或2；C・1或2；D.1或-2。解：原方程去分母，并整理得：a2-2a-2-b=0,因为原方程的增根是a二0或a=l,把a-0或a-1分别代入整式方程，得：b二-2或b二1,因此应选D。例3：如果关于y的方程二0有增根，则“的值为（）。解：原方程化简为：好+1二0,又知道原方程的增根是y二1,把y二1代入上式，得沪-1,因此应填总结：通过以上3个例子可知，解答此类问题的皋本思路是：把所
