2017年的高考数学一轮复习精品资料-理专题53 圆锥曲线的综合问题（课后练习）-2017年的高考数学（理）一轮复习精品资料.doc

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1、专题53圆锥曲线的综合问题1．已知中心在坐标原点的椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2＝4x的焦点，且椭圆E的离心率是。(1)求椭圆E的方程；(2)过点C(－1,0)的动直线与椭圆E相交于A，B两点。若线段AB的中点的横坐标是－，求直线AB的方程。【解析】：(1)由题知椭圆E的焦点在x轴上，且a＝，又c＝ea＝×＝，故b＝＝＝，故椭圆E的方程为＋＝1，即x2＋3y2＝5。(2)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将其代入x2＋3y2＝5，消去y，整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0。设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，

2、y2)。则由线段AB中点的横坐标是－，得＝－＝－，解得k＝±，符合(*)式。所以直线AB的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0。2．已知圆C：(x＋)2＋y2＝16，点A(，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E。(1)求轨迹E的方程；(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB(O是坐标原点)的面积S＝，求直线AB的方程。【解析】：(1)由题意

3、MC

4、＋

5、MA

6、＝

7、MC

8、＋

9、MQ

10、＝

11、CQ

12、＝4>2，所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你即轨迹E的方程为＋y2＝1。(2

13、)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线AB的斜率不可能为0，而直线x＝1也不满足条件，故可设AB的方程为x＝my＋1。由消去x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0，所以则S＝

14、OP

15、

16、y1－y2

17、＝＝。由S＝，解得m2＝1，即m＝±1。故直线AB的方程为x＝±y＋1，即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求。3．已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x2＝4y有一个相同的焦点F1，直线l：y＝2x＋m与抛物线C2只有一个公共点。(1)求直线l的方程；(2)若椭圆C1经过直线l上的点P，当椭圆C1的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标。【解

18、析】：(1)由消去y，得x2－8x－4m＝0，∵直线l与抛物线C2只有一个公共点，∴Δ＝82＋4×4m＝0，解得m＝－4。∴直线l的方程为y＝2x－4。(2)∵抛物线C2的焦点为F1(0,1)，依题意知椭圆C1的两个焦点的坐标为F1(0,1)，F2(0，－1)设椭圆C1的方程为＋＝1(a>1)，[来源:学#科#网Z#X#X#K]由消去y，得(5a2－4)x2－16(a2－1)x＋(a2－1)(16－a2)＝0。(*)由Δ＝162(a2－1)2－4(5a2－4)(a2－1)(16－a2)≥0，得a4－4a2≥0(a2>0且a2－1>0)，解得a2≥4。∵a>1，∴a≥2

19、，∴e＝≤，当a＝2时，emax＝，此时椭圆C1的方程为＋＝1。【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你把a＝2代入方程(*)，解得x＝。又y＝2x－4，∴y＝－1，∴点P的坐标为。4．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形。(1)求该椭圆的离心率和标准方程。(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程。【解析】：(1)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)。因为△AB1B2是直角三角形，又

20、AB

21、1

22、＝

23、AB2

24、，所以∠B1AB2为直角，因此

25、OA

26、＝

27、OB2

28、，则b＝，又c2＝a2－b2，所以4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝。在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2。故S△AB1B2＝·

29、B1B2

30、·

31、OA

32、＝

33、OB2

34、·

35、OA

36、＝·b＝b2。由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20。因此所求椭圆的标准方程为＋＝1。(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)。由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2。代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0。设P(x1，y1)，Q(x2，

37、y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1＋y2＝，y1·y2＝－。又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，【班级成绩管理小程序】只为爱孩子的你所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝－－＋16＝－，由PB2⊥QB2，得·＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2。所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0。5．设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，且过点。(1)求椭圆E的方程。(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l