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1、第十章习题解答1、用Euler方法及改进的Euler方法求解初值问题'⎧y=x−yx∈[0,1]⎨⎩y(0)=2取h=0.1，并将计算结果与精确值相比较。解：fxy(,)=x−y,由Euler公式及改进的Euler方法，代入h=0.1，有Euler方法y=0.9y+0.1xn+1nn，依次计算结改进的Euler方法y=0.905y+0.095x+0.005n+1nn果如下n=012345678910x=00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0ny=21.80001.63001.48701.36831.27151.19441.1
2、3501.09151.06231.0461ny=21.81501.65711.52371.41241.32121.24821.19161.14991.12171.1056ny21.81451.65621.52251.41101.31961.24641.18981.14801.11971.1036y为Euler方法的结果，y为改进的Euler方法的结果，y为精确解。nn2、用梯形公式求解初值问题'⎧y=−yx≥0⎨⎩y(0)1=a−hn证明其近似解为y=()。na+hhh2−h证明：采用梯形公式得近似解为y(1+)=y(1−),y=y，因此n+1nn
3、+1n222+h2−h2−h22−hn2−hn可得y=y=()y=⋯=()y=()。nn−1n−202+h2+h2+h2+h证毕。x2t3、试用Euler公式计算积分∫edt在点x=0.5,1,1.5,2的近似值。02x2xn解：fxy(,)=2xe由Euler公式得y=y+2*0.5xe，计算可得n+1nnn=01234x=00.511.52ny=00.64202.00116.745034.0441n4、定初值问题'⎧⎪⎧⎪⎧⎪y=sinyx≥x0⎨⎪⎩⎪⎩⎪⎩yx()=y00试用Taylor展开法导出一个三阶的显式公式。'解：由Taylor公式
4、，并代入y=siny可得""''yx(n)2y(xn)34yx(+h)=yx()+yxh()+h+h+Oh()nnn2!3!sin2yn2cos2ynsinyn34y≈y+sinyh+h+h+Oh()n+1nn22!×3!故三阶的显式公式为sin2yn2cos2ynsinyn3y≈y+sinyh+h+hn+1nn465、已知初值问题'2⎧y=x+x−yx∈[0,1]⎨⎩y(0)=0试分别用改进的Euler方法和四阶R-K方法求解此问题，取步长为h=0.5.2解：fxy(,)=x+x−y,由改进的Euler方法和四阶R-K方法，代入h=0.5，⎧y=
5、y+hfxy(,)n+1nnn⎪改进的Euler方法⎨h⎪y=y+((fxy,)+fx(,y))n+1nnnn+1n+1⎩2h四阶R−K算法y=y+(k+2k+2k+k)n+1n12346⎧k=fxy(,)1nn⎪11⎪k=fx(+hy,+hk)2nn1⎪22⎨⎪k=fx(+1hy,+1hk)3nn2⎪22⎪⎩k=fx(+hy,+hk)4nn3计算可得n=012x=00.51ny=00.18750.7109ny=00.14390.6329n其中y为改进的Euler方法的结果，y为四阶R-K方法的结果。nn6、试证明对任意的参数a，以下Runge-K
6、utta公式是一个二阶公式，并导出其数值稳定条件。hy=y+(k+k)n+1n232⎧k=fxy(,)1nn⎪⎨k=fx(+ahy,+hk)2nn1⎪⎩k=fx(+(1−ahy),+(1−ahk))3nn1证明：将kk,做二元Taylor展开23''2k=fxy(,)+ahf(xy,)+hkf(xy,)+Oh()2nnxnn1ynn''2k=fxy(,)(1+−ahf)(xy,)(1+−ahkf)(xy,)+Oh()3nnxnn1ynn代入得h''2y=y+(2(fxy,)+hf(xy,)+hkf(xy,)+Oh())n+1nnnxnn1ynn22
7、2h'h'3=y+hfxy(,)+f(xy,)+ff(xy,)+Oh())nnnxnnynn22再将yx()在点x展开n+1n"'yx(n)23yx()=yx()+yxh()+h+Oh()，式中n+1nn2!'yx()=fxy(,)nnn代入后有''''yx()=f+ffnxy''f+ffxy23yx()=yx()+fh+h+Oh()n+1n2!3故E=yx()−y=Oh()，即对任意的参数a，公式是二阶公式。n+1n+1n+1下面讨论公式的数值稳定条件:'取模型方程λ=λy,将fxy(,)=λy代入k得到i⎧k=fxy(,)=λy1nnn⎪⎨k=
8、fx(+ahy,+hk)=λ(y+hk)=λ(1+λhy)2nn1n1n⎪⎩k=fx(+(1−ahy),+(1−ahk))
