不规则平面图形的面积计算

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1、解题专跨数嗨教嗨参荐l一一“”忌想志法中心2009d"Enial0：1~(中旬l

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4、卿谴磨黪静积第四川省广元师范学校杨忠对于平面图形的面积计算，能够考虑运用公式的，往往是那些比较规则的平面图形，而对于那些不规则的平面图形，其面积计算就需要根据图形特征和已知条件合理地选择计算方法．本文就不规则的平面图形的面积计算，归纳一些比较常见的计算方法．‘··5△—SAACF一专cm。，s△觚一亏cin·1方程求解将平面图形的面积计算转化为用方程或方程组⋯求解，有时是一种行之有效的方法．这需要有数形结合的思想，“数”来源于“形

5、”，即方程的建立依赖于图故s△№B一cm。．形中的几何关系．例1如图1，△ABC中，D是AC上一点，E是BC上一点，AD—Dc，BE一2EC,AE与BD口交于点0，ABCD的面积是{，图1C从从而而{J3u+。+3v=3’所以4“+4一吾导．v=÷．fACE的面积是吉，求凹四边形AOBC的面积．故“+一百1即s日边形Ec一百1cm2，．解析：连结DE，设S△∞E—，则S△舯D===S△AS~ODE一1x1～一z一一z，s△雠一sABDE-s△∞百2X1s△唧一111_一z一百I—^一，．32特殊图形连结OC，则s△

6、Ⅲ。一s△肿。一～z，s△似在几何类的单项选择题中，往往可以利用特殊图形1S11-△一一z．因为SacoD+s△删一s△∞使问题得到快速求解，而能否利用特殊图形进行计算，则z取决于问题本身是否存在着这种特殊图形的情况．+s△唧，所以有(1一)+(一1．z)一z+．解例3如图3(1)，已知点E为矩形ABCD的内之得一1的任意一点，作平行四边形ABFE，点M、N、P、Q分．别为EB、BF、FC、CE的中点，若S矩形仙c。===4，则S口边形』ⅥNPQ等于()．所以凹四边形AoBc面积为{+÷一1一1一3．A．0．5B．

7、1例2(第13届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题)若△ABC的面积是1cm。，如图2所示，AD—DE—EC，BG—GF嗲FDCGFc—FC，求阴影部分的面积．。图2图3解析：如图2，设AG与BE交解析：图3(1)是符合题意的一般图形，图3(2)是符解题中心

8、忌想中学20O荤篑、啪氓警p固⋯露合题意的特殊图形，其中矩形ABCD为正方形、点E为解析：将图6(1)的正六边形PQRSTU绕正六边正方形的中心．这样，就容易知道S边形删PQ一1，故选B．形ABCDEF的中心P逆时针旋转某个角度，一定能例4(2005年全国初中数

9、学联赛武汉cAsIO使点F与点U重合、点D与点Q重合，点E为正六杯选拔赛试题)如图4(1)，在四边形ABCD中，M、N边形PQRSTU的中心，如图6(2)所示．这样，就容易分别是AB、CD的中点，AN、BN、DM、CM划分四边知道阴影部分的面积是专1·形所成7个区域的面积分别为S，S，S。，S，S，S，S，那么恒成立的关系式是()．4图形合并A．S2+S6一S4B．Sl+S7一S4C．S2+S3一S4D．S1+S6一S4一些关于平面图形面积的计算，需要观察图形解析：图4(1)是符合题意的一般图形，图4(2)是的全貌

10、，这样往往可以发现通过图形之间的合并，找符合题意的特殊图形，其中四边形ABCD为等腰梯到求解面积的最佳方法．合并后的图形往往是便于形．所以只需连结MN，易证S所在的四边形被MN求面积的规则图形．分成的两个三角形的面积分别等于S和S，故选B．例7如图7，正方形的边长AAMB是2(口+6)，阴影部分B的面积是7平方厘米，求阴影部分A与C。+6的面积之和是多少平方厘米?D～NⅣC解析：图7中的阴影部分A、(1)(2)C和四边形D构成一个直角三角圈7图4形，阴影部分B和这个四边形D构成一个矩形，则得3旋转图形到的直角三角形

11、的面积与矩形的面积都是原正方形面积的一半．旋转是解决平面几何问题常用的图形变换方法于是，阴影部分B的面积与阴影部分A、C的面之一，图形经过旋转某个角度以后，希望将所求的不积之和相等．所以，阴影部分A与C的面积之和是7规则图形转化为一个完整的规则图形．平方厘米．例5用一张斜边为29厘米的红色直角三角形例8如图8，平行四边形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一CABCD，A为6O。，AD长为6厘张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形(如图5米，AB为8厘米，高DE为5．2厘(1))．求红、蓝两张三角形纸片面

12、积之和是多少?米．以点A为圆心．分别以AD、ABA长为半径画弧；以C为圆心，分别图8以BC、CD长为半径画弧，求图中阴影部分的面积．(1)(Z)5解析：把大小两个扇形(不同的圆心)“合并”后的图解析：将红色直角三角形绕大直角三角形斜边形去掉平行四边形，正好是阴影部分图形的一半，所以，nn上的顶点逆时针旋转至阴影位置(如图5(2))，则红阴影部分的面积是(平方