重尾随机变量序列滑动平均过程的极限性质-论文.pdf

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1、．舭诫爨聱诎数学物理学报2013，33A(4)：787792http：／／actams．wipm．ac．ca重尾随机变量序列滑动平均过程的极限性质术李炜(仲恺农业工程学院计算科学学院广州510225)甘师信(武汉大学数学与统计学院武汉430072)摘要：对分布属稳定分布吸引场的独立同分布随机变量序列的滑动平均过程，用积分检验刻画了其极限性质．作为应用，获得了相应的Chover型重对数律．关键词：重对数律；积分检验；稳定分布吸引场．MR(2000)主题分类：60F15；60G15；60F17中图分

2、类号：0211．4文献标识码：A文章编号：1003—3998(2013)04—787—061引言和结果设{Y,Yn，n≥1)是独立同分布的随机变量序列，其共同分布函数为F，Ga是特征指数为a的稳定分布函数，00，且对任意z∈(一o。，。。)有熙P{去(姜⋯。)≤z)氓㈤对X>0，记a(x)=P(1Yl>z)，且令Acz，=inr<可：Gc可，s去>，z>。(1．2)及p。(c)=nI／：：r考，dF(cz)．

3、由Lo爸ve[1】知，如果对某A。和玩，(1．1)式成立，则可令A。=A(n)，Bn=‰(A(礼))，f1．1)式同样成立．特别，如果a>1，则EIyI<∞，此时可令A。=A(n)及Bn=nEY；如果0

4、04E．mail：liweizk@163．com；shixingan@sina．corn+基金项目：国家自然科学基金(11271161)资助788数学物理学报V01．33A我们称上式为Chover型重对数律．Vasudeva[4]在条件B。三0下也获得了(1．1)式．Chover型重对数律最先由Chover[3]在讨论对称的OL稳定随机变量序列时获得的，稳定吸引场时的结果可见文献[2，451，加权和时的结果可见文献[68】，更广泛的结果可见文献[912]，等等．假设{¨K，一∞

5、穷的独立同分布的随机变量序列，其共同分布F属稳定分布G。的吸引场，{勺，一。。

6、

7、勺％"q勘。∑一如果(1．4)式满足，容易验证(1．5)式是几乎处处有意义的．记Sn(n≥1)为％的部分和，i．e．&=氍=勺K切=勺K却(1．6)。∑曲。∑甜。∑曲壹一。∑一Davis和Desnick[13]对滑动平均过程建立了如下基本渐近定理：对任意X∈(一∞，o。)有规P{去(*，叁如)≤z卜㈤，∽7，其

8、中A(n)和B(n)如(1．1)及(1．2)式所定义．本文的目的是用积分检验来刻画&(n一∞)的极限性质，并由此得到一个Chover型重数律．下面是本文的主要结论，相关引理及主要结论的证明放到下一节．定理1．1设函数，>0非降且limf(x)=∞．则以概率1地有▲i。m。s。。up辆1，妻弛心甘z。。高B(1．8)其中&如(1．6)式所定义，A(n)和B(it)如(1．1)及(1．2)式所定义．对正整数r≥1，记lgo(z)=z，lg，x)=logmax(19r--1(z)，e)．则由定理1．1

9、有推论1．1在定理1．1的条件下，对任意正整数r≥1有Sn一∑cjB。『1／lgr+l(n)2e17。a·s．，‘l·9’1i。m。s。。upl—_：意l特别，当r=1时下面Chover型重对数律成立&一∑cjB。11／loglognj=-oclimsup(1．10)A(n)本文约定，C代表正常，在不同的地可代表不同的值N。．4李炜等：重尾随机变墨!型翌兰!望兰堡竺坚坚竺垦—12定理的证明7u’11阻为iiJ[证．明12[定14理]1’[薯14们]设要t毒(x下)翟>0裂是萋慢沈变函化数函，数，

10、g()x≥)≥11是是任仕意恧函幽烈数·．则则刖对’任旺意思6o>。，存在zo>0使得当z>X0时有知圹n啦i细nf㈤糌≤嘞s如up㈤糌ab∽”6▲变纛化飘函燃数，P从et而删由rov[i15B】Y等m嚣I【{a1，6P】hm=中g1)结4n铜论o知槲膦Ax(篇qz()是G溢指数为高1l／QQ嗣观则义忆幽鳅’厄⋯。同(2·1)limzG(A(z))：1．Z——+o。由Bingham等【16】中有关结论知，存在慢变化函数e(z)，使得A(z)=z1／。f(z)·先设萨暑瑟<。O．将证▲i罂赢卜，皇