时间序列分析-第三章 滑动平均模型和自回归滑动平均模型.ppt

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1、第三章滑动平均模型与自回归滑动平均模型本章结构滑动平均模型ARMA模型§3.1滑动平均模型模型引入MA(q)和MA(q)序列最小序列MA(q)系数的递推计算MA(q)模型举例q步相关平稳序列的自协方差函数若满足，，则称是q步相关的。滑动平均模型的例子每隔两小时记录的化学反应数据时间序列。一阶差分得的样本自相关系数列呈现截尾性。可以拟合(1.1)模型特点是1步截尾MA(q)模型和MA(q)序列定义1.1设是，如果实数使得则称(1.2)是q阶滑动平均模型，简称为MA(q)模型；称由(1.2)决定的平均序列是滑动平均模

2、型，简称为MA(q)序列。如果进一步要求多项式在单位圆周上也没有零点：当，则称(1.2)是可逆的MA(q)模型，称相应的平稳时间序列是可逆的MA(q)序列。MA的特征用推移算子把模型写为(1.3)对于可逆MA，有Taylor展式所以(1.4)MA序列的自协方差函数记，则对MA(q)序列有，(1.5)MA序列的谱密度定理1.1MA(q)序列的自协方差函数是q步截尾的：(1.6)并且有谱密度(1.7)MA(q)序列的充要条件定理1.3设零均值平稳序列有自协方差函数，则是MA(q)序列的充分必要是引理1.2引理1.2设

3、实常数使得和则有唯一的实系数多项式：(1.8)使得这里为某个正常数。(注：)定理1.3的证明由自协方差绝对可和时谱密度公式得由引理，单位圆内没有根如果在单位圆上都没有根，则可定义，用线性滤波的谱密度公式可得的谱密度是白噪声谱密度。单位圆上可能有根的一般情况可以用hilbert空间预测的方法证明。MA(q)系数的计算MA(q)序列的系数及可以被数唯一确定。可以用文献方法计算模型参数。MA(q)系数的计算记(1.11)则有：(1.12)其中.(1.13)MA(1)序列可逆MA(1)自协方差和自相关谱密度偏相关系数不截

4、尾：逆表示MA(2)序列可逆MA(2)可逆域：自协方差自相关系数谱密度MA(2)序列的实际例子MA(2)的实际例子：特征根为。§3.2自回归滑动平均模型ARMA(p,q)模型及其平稳解ARMA(p,q)序列的自协方差函数ARMA(p,q)模型的可识别性ARMA序列的谱密度和可逆性例子ARMA模型定义2.1设是。实系数多项式和没有公共根。满足以及：(2.1)就称差分方程：(2.2)是一个自回归滑动平均模型，简称ARMA(p,q)模型。称满足(2.2)的平稳序列为平稳解或ARMA(p,q)序列。ARMA模型平稳解模型

5、写成(2.3)在解析(为的所有根)，可以Taylor展开(2.4)易见是线性平稳列。两边用作用即是ARMA(p,q)模型(2.2)的解。惟一平稳解反之，若是(2.2)的一个平稳解，在(2.2)两边用既得即(2.6)是ARMA(p,q)模型(2.2)的唯一平稳解。称(2.6)中的为的Word系数。定理2.1由(2.6)定义的平稳序列是ARMA(p,q)模型(2.2)的唯一平稳解。ARMA模型方程的通解模型(2.2)的任意解可写成(2.7)其中为平稳解(2.6).为的全体互不相同的零点。有重数随机变量由唯一决定。AR

6、MA序列的模拟生成(2.8)可以据此模拟ARMA模型：取初值递推的当m较大时取后一段作为ARMA(p,q)模型的模拟数据。当有靠近单位圆的根时m要取得较大ARMA序列的自协方差函数可由wold系数表示：(2.10)由于由(2.10)可得ARMA模型Wold系数的递推公式记或由参数计算时可以递推(2.11)Wold递推公式的证明记。注意比较系数得即(2.11)成立。可识别性我们将证明：由ARMA(p,q)模型的自协方差函数可以决定ARMA(p,q)模型的参数引理2.2设是(2.2)的平稳解。如果又有白噪声和实系数多

7、项式使得成立。则的阶数的阶数。ARMA序列的Y-W方程ARMA模型的平稳解为所以（1）两边同乘以求期望得即当时上式为总之(2.14)对的Y-W方程可以写成矩阵形式：(2.15)把系数矩阵记为：只要可逆则可解出。（2）解出后令则是一个MA(q)序列。其自协方差函数为q步截尾，且可以用3.1的方法唯一解出。于是，只要可逆，则ARMA(p,q)序列的自协方差函数和ARMA(p,q)模型的参数相互惟一决定。ARMA模型中AR部分的参数求解定理2.3设为ARMA(p,q)序列的自协方差函数列，则时可逆。证明：用反证法然后由

8、引理2.2导出矛盾。设不满秩。则存在使得即(2.18)注意当时，。所以这是。所以取有递推得上式当时也成立。因此令，则是零均值平稳列，利用可知的自协方差步截尾。是MA(q-1)序列，存在使得与引理2.2矛盾。ARMA模型的一个充分条件定理2.4设零均值平稳序列有自协方差函数。又设实数使得满足最小相位条件，另外(2.9)则是一个ARMA序列。其中定理2.4证明证明：设，则是零