一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式-论文.pdf

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1、第31卷第3期工程数学学报v01．31No．32014年06月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSJune2014doi：10．3969／j．issn．1005-3085．2014．03．006文章编号：1005—3085(2014)03—0371一10一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式木黄雪芳，郭锐，葛永斌tf宁夏大学数学计算机学院，银川I750021)摘要：本文在非均匀网格上给出了求解非定常对流扩散方程的一种高精度紧致差分格式，特别适合边界层和大梯度等问题的求解．从稳态对流扩散方程入手，首先，基于非均匀网格上的

2、泰勒级数展开对空间导数项进行离散，然后对时间项采用二阶向后欧拉差分公式，从而得到一维非定常对流扩散方程在非均匀网格上的三层全隐式紧致差分格式．新格式在时间具有二阶精度，空间具有三到四阶精度，并且是无条件稳定的．最后，通过数值实验验证了本文格式的精确性，以及在处理诸如边界层和大梯度问题上的优势．关键词：非定常对流扩散方程；非均匀网格；高精度紧致格式：全隐式；边界层分类号：AMS(2000)65M06；65M12中图分类号：O241．82文献标识码：A1引言对流扩散方程是一类重要的运动模型方程，它可以描述诸如质量、热量、能量及速度等的对流和扩散过程，由于实际问题往往比较复杂，精

3、确解很难求出，因此研究其精确稳定的数值求解方法具有十分重要的意义．国内外已提出了很多求解该类方程的有限差分方法，田振夫和冯秀芳提出了一种数值求解对流扩散方程的指数型交替组显方法，该方法具有固有并行性，而且无条件稳定【1J．Ding和Zhang对时间项采用半离散和Pad6逼近方法，对空间项利用文献『21中的多项式紧致差分，构造了一种空间四阶和时间五阶的差分格式【引．文献f4，51分别利用四阶紧致差分公式和四阶紧致指数格式构造了非定常对流扩散方程的高精度紧致差分格式；Mohebbi和Dehghan采用四阶紧致有限逼近和连续三次样条插值方法，提出了求解一维热传导方程和对流扩散方程

4、的高阶紧致解法[6]．这些格式都是基于均匀网格的，对于解光滑问题可以得到非常精确的计算结果，但对于大梯度问题及边界层问题，采用均匀网格的计算效果往往不理想．因此，发展高效的非均匀网格上的高精度紧致差分格式就成为有限差分方法发展的必然趋势【7-10】．对定常对流扩散方程，建立在非均匀网格上的差分收稿日期：2012—06-19．作者简介：黄雪芳(1988年l1月生)，女，硕士．研究方向：偏微分方程数值解．基金项目：国家自然科学基金(11061025)；教育部科学技术研究重点项目(210239)；霍英东教育基金会高等院校青年教师基金(121105)；宁夏大学自然科学基金(ZR11

5、20)．t通讯作者：葛永斌E-mail：gyb~nxu．edu．cn372工程数学学报第31卷格式，文献[7-9]已经有相关报道，非定常对流扩散方程在非均匀网格上的高精度紧致差分方法却鲜有报道．本文针对一维非定常对流扩散方程，对空间导数利用泰勒级数展开进行离散，以及二阶向后欧拉差分方法对时间导数进行离散，得到了求解非定常对流扩散方程在非均匀网格上的三层高精度紧致全隐差分格式．2一维对流扩散方程高精度紧致差分格式考虑如下一维变系数非定常对流扩散方程筹+p()=，al，￡>0，(1)其中u(x，t)是未知函数，a为扩散项系数，p(x，t)为对流项系数，源项f(x，t)为已知函数

6、，假设u(x，)，p(x，t)和f(x，t)均为求解区域上关于变量和t的足够光滑函数．将空间区域[a1，a2]剖分为Ⅳ个子区间，定义空间步长x6=xt—xt一1，x，=x件1一xt，1iN一1，当‰=Xf时，网格为均匀剖分．对时间方向采用均匀网格剖分，步长用7_表示．为方便差分格式推导，首先考虑如下一维定常对流扩撒方程+p()一==：s(，U，P，s均为的函数，分别将u(x件)，u(一1)在点x(i)处作泰勒展开，得=，“+，()i+鲁(象)+生31f＼，Ox3、]+碧(翥)+萼(豢)+o(；)，()+薯()一薯(翥)+豸()一蔷()i+o(．(3)与(4)式相减可得()：

7、一～)(豢)一石1(；-XfXb)(嘉)一；)(Ox叭4]~+0()．(5)(3)和(4)式分别乘Xb，，相加得(象)=[+~-i1一(+]一xi-Xb(蠹)i1X(x一-xfx~)＼0x叭4]一f-Xb；)(嘉)+。(搿)．(6)第3期黄雪芳，等：一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式373定义方向非均匀网格上的一阶和二阶中心差分算子dUi===Xb+xl2：=『一Ui+I+一Ui-1(+一X1b、JJt])1．Xb十xfL，％将上述定义的差分算：=I二代入一阶和二阶导数，则(2)式可写成如下形式