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《求解对流扩散方程的一种高精度紧致差分格式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第40卷第9期西南大学学报(自然科学版)2018年9月Vol.40No.9JournalofSouthwestUniversity(NaturalScienceEdition)Sep.2018DOI:10.13718/j.cnki.xdzk.2018.09.014求解对流扩散方程的一种高精度紧致差分格式①罗传胜1,李春光2,董建强1,景何仿31.北方民族大学数学与信息科学学院,银川750021;2.北方民族大学土木工程学院,银川750021;3.北方民族大学数值计算与工程应用研究所,银川750021摘要:在指数变换的基础上,将对流扩散方程变为扩散方程,消除了数值求
2、解中较难处理的对流项,采用四阶紧致差分方法离散扩散方程的空间变量,采用扩展的144).理-Simpson公式离散时间变量,格式的截断误差为O(τ+h3论分析证明该格式是无条件稳定的.通过数值算例验证了本文方法的有效性.1关键词:高精度紧致格式;无条件稳定;指数变换;数值计算;扩展的-Simpson公式3中图分类号:O241.82文献标志码:A文章编号:16739868(2018)09009105许多自然科学现象和工程领域均涉及对流传热问题.对于给定流场的对流传热现象,其模型方程为对流扩散方程.由于传热介质结构的复杂性和实际问题中边界条件的多样性,我们一般无法得到对
3、流传热问题的解析解,因此研究高效率、高精度数值求解对流扩散方程的新算法具有重要的应用价值.对于对流扩散方程数值求解常见的差分格式有很多,如修正中心显示格式(CD)、迎风格式(FUD)、Crank-Nicolson格式(C-N)等,虽然都是绝对稳定的,但它们的截断误差均较低.目前已有许多研究对此进行了改进:文献[1-3]使用Hermite插值思路给出了求解空间的四阶差分格式,但只适用于稳态的对流扩散方程;文献[4-6]使用综合变换建立了求解对流扩散方程的一种两层四阶差分格式,但增加了离散方程节点数,计算比较复杂;文献[7]提出了求解一维定常对流扩散问题非均匀网格上的
4、多项式型高阶紧致差分格式,但对于边界条件的处理较困难;文献[8]利用四阶精度的三次样条公式提出了时间二阶空间四阶精度的两层紧致隐格式;文献[9]提出了构造高阶精度的待定系数法,虽然很好地解决了对流项的耗散问题,但精度较低,且计算较复杂.本文利用指数变换将对流扩散方程变为扩散方程,然后采用三点四阶紧致差分方法离散扩散方程的1空间变量,利用扩展的-Simpson公式离散时间变量,构造出一种求解对流扩散方程的新的高精度紧致3差分格式.1差分格式的构造在计算流体力学中,天然河道中的水沙运动、水中污染物的扩散是最常见的一种流动现象,伴随着计算机技术的快速发展,建立数学模型已
5、经成为模拟这些流动现象的一种重要手段,然而污染物的扩散和水沙运动数学模型可以写成统一的对流扩散方程形式,考虑如下简单形式的对流扩散方程①收稿日期:20170504基金项目:国家自然科学基金项目(11361002;11761005).作者简介:罗传胜(1991),男,硕士,主要从事微分方程数值解法研究.通信作者:李春光,教授.2西南大学学报(自然科学版)http://xbbjb.swu.edu.cn第40卷2∂u∂u∂u+p=a2(x,t)∈Ω×[0,T](1)∂t∂x∂x的初边值问题u(0,t)=u(1,t)=0t∈[0,T]u(x,0)=d(x)x∈Ω其中:u(
6、x,t)表示未知量,a为扩散系数,p为对流系数,Ω=[0,1],d(x)是足够光滑的函数.先做指数变换pp2x-t2a4au=ev(2)将(2)式带入(1)式后可得2∂v∂v=a(3)2∂t∂x1先对计算区域进行离散,空间方向进行N等分网格划分,步长h=,时间步长为τ,网格节点为(xj,tn),N其中xj=jh,tn=nτ,j=0,1,2,…,N.对于任意固定的t,设vj(t)是v(xj,t)的近似值,(vxx)j(t)是vxx(xj,t)的近似值,(vt)j(t)是vt(xj,t)的近似值.[10]对空间内部节点采用四阶紧致差分公式来离散空间变量æ∂2vö2-1
7、æh2ö24ç2÷=ç1+δx÷δxvj+O(h)(4)è∂xøjè12ø其中δ2是二阶中心差分算子.将(4)式带入(3)式后可得到xVt(t)=CV(t)(5)其中:-1C=ABév(x1,t)ùêúêv(x2,t)úêúV(t)=ê︙úêúv(xN-2,t)êúêúëv(xN-1,t)û(N-1)×1é51ùêúê612úêú15ê⋱úê126úA=êú1ê⋱⋱úê12úêú15êêúúë126û(N-1)×(N-1)é-21ùêúaê1-2⋱úB=2êúhê⋱⋱1úêúë1-2û(N-1)×(N-1)采用扩展的1[11]对时间方向进行离散,设v?(?(-Si
8、mpson
