对流扩散方程高精度有限差分方法

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1、致谢研究生的学习生活就要结束了，而大学最后的一段学习生活也已宣告尾声。在本文完成之际，我特别向所有曾经给予我帮助、鼓励和支持的人们表示衷心的感谢。在此，我首先要向我的导师张佐刚教授表示最衷心的感谢。从入学之初到毕业论文完成的整个过程中，我都一直得到张老师细致入微的关心和照顾，无论是在学习上还是在生活上都给了我莫大的支持和鼓励。另外，在论文写作过程中，张老师对我悉心的教诲和严格的要求足以让我受益终生，我深深地被老师严谨的治学精神和一丝不苟的生活态度所折服，他一丝不苟的育人作风更是为我以后的学习工作树立了榜样。这里我还要特别感谢高雷阜教授在平时一直给予的默默关心，在导师繁忙

2、的时候，给予了我无私的帮助，同时也是他为我们提供了一个方便优越的学习环境，使论文得以顺利完成。最后还要感谢辽宁工程技术大学理学院所有的老师，是他们在传授我知识的同时培养了我良好的数学思维和数学的思考方式，还有理学院所有的同学，他们在日常的学习生活中给了我无数的帮助和启发。祝福所有的老师和同学身体健康，工作和学业一切顺利！摘要对流扩散方程作为流体力学中的基本方程之一，目前求解的数值方法有很多，主要包括有限单元法、有限体积法、有限分析法和有限差分法。其中，有限差分法作为一种重要的数值离散方法，在科学研究和工程计算中都得到了广泛的应用。而在有限差分法中，高精度有限差分方法又以

3、其涉及网格点少、边界无需特殊处理、具有较高的计算精度等优点，成为学者们争相研究的热点问题。本文首先分析了高精度差分格式的研究意义、国内外的研究现状、研究过程中存在的一系列问题和发展的趋势。然后结合均匀网格上和非均匀网格上差分算子的定义式，具体介绍了一些传统的关于对流扩散方程的差分格式和目前已经得到一定发展的主要的高精度差分格式。通过对这些差分格式的研究学习，了解了很多高精度差分格式的主要构造方法，从中也得到了一些启发。并且通过对一些差分方法的优点和局限性的分析，改进了文献中的一些高精度差分格式的构造方法，分别应用待定系数法、降维法等数学思想，给出了均匀网格上简单对流方程的

4、一种高精度差分格式，以及非均匀网格上二维对流扩散反应方程的一种高精度紧致差分格式，并给出了相应的数值算例，证明了该格式较好的计算效果。最后简要阐述了本文的结论和创新点。关键词：对流扩散方程；高精度有限差分格式；均匀网格；非均匀网格；数值算例-I-AbstractAsabasicequationofhydromechanics,thenumericalmethodsforsolvingconvection-diffusionequationmainlycontainfiniteelementmethod,finitevolumemethod,finiteanalyticme

5、thodandfinitedifferencemethod.Inwhichthefinitedifferencemethodasanimportantnumericaldiscretemethodhasbeenwidelyusedinscientificresearchandengineeringcalculations.Whileinthefinitedifferencemethod,highaccuracydifferenceschemebecomeahottopicforlessgridpoints,theborderwithoutspecialtreatmenta

6、ndgoodaccuracy.Thisarticlefirstlyintroducesthesignificance,researchstatus,theexistedproblemsanddevelopmenttrendsofhighaccuracydifferenceschemes,andthendescribessometraditionaldifferenceschemesforconvection-diffusionequationandsomedevelopinghighaccuracyschemesatpresentbasedonthedefinitiono

7、fdifferenceoperatoronuniformgridandnon-uniformgrid.Throughlearning,weunderstandsomemajorconstructionmethodsofdifferenceschemesonuniformgrid,andalsogetsomeinspirations.Byanalyzingtheiradvantagesandlimitationsandimprovingsomemethodsinliteratures,ahighaccuracydifferenc