透视高考热点 漫话极限思想-论文.pdf

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1、高中数学教与学2014年。高考之窗o透视离考燕点漫话极限思想华志远(江苏省无锡市第一中学，213031)极限是近代数学的一个重要概念和思不等式的左边为n)==1+1．要想，是微积分的基础．在数学学习中，利用极限可以让学生从有限中想象无限，从近似中使原不等式恒成立，只需n)的最小值大于体验精确，从量变中感受质变．高中数学教材等于。成立，但，(n)是关于n的减函数，因此采用螺旋上升的方式渗透极限思想，尤其在只有n越大n)才能越小，为此令n一+∞，函数、数列、概率、导数、立体几何、解析几何等得，(n)一÷

2、，于是÷≥。，即n≤1．章节尤为突出．由于近几年高考在能力把关例2(2010年江苏高考试题)设各项均题的设计上，频频指向极限思想，以检测学生为正数的数列{a}的前n项的和为S．已知的创新潜能，因而引来高度的关注，但仅靠高三阶段一些习题的零星讲解，极限思想未必2a=n。+，数列{}是公差为d的等差能得到学生的心理认同，从而在解决问题时数列．难以得到广泛推广．以江苏高考为例，近几年(1)求数列{a}的通项公式(用n，d表的能力把关题持续涉及该思想，但得分率仍示)；几乎为零．究其原因，主要是不少教师对极限

3、(2)设c为实数，对满足m+n=3k，且m思想缺乏清晰的认识，尤其是对教材中极限≠n的任意正整数m，n，．i}，不等式．s+S>思想的渗透，没有从课程的角度加以开发和cS都成立，求证：c的最大值为S-．利用，因而难以收到良好的教学效果．本文举例说明极限思想在解题中的应用．解(1)略．一、凝练极限思想。寻找解题思路(2)由题设知√s=~／s。+(n一1)d=极限是从数量上描述变量在无限变化过+(n一1)d，S=d2n+2(一d)n+程中的变化趋势，用极限思想解决问题的步(~／口1一d)．骤为：对于被考

4、察的未知量，先设法构造一个当凡≥2时，a=

5、s一S一I=2dn+2d与它相关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量，最后用极限计算一3d，由2a=口。+0，，得=d，即n≥2时，a=(2n一1)d．又al=d，故有来得到该结果．由此可见，极限思想蕴育的前提是变化与运动，认识极限的难点是对无限。：(2n一1)d(n∈N’)．的理解，探索极限的关键是考察变化的趋势．由此得S=d2n，代入条件式，整理得，n+n>c后2例1对于任意大于1的正整数n，不等．式(，一)(，一)⋯(一)≥。恒成立，

6、由m得>m丁+n脚m2+则t／,的取值范围是——_．n2>：詈，故c≥9．分析利用因式分解并加以约简，可得·32·第9期高中数学教与学Y：1的左、右焦点分别是，，点P是椭圆下面只需证任取n>÷，总存在m，n使C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为m+n_-_=时()便成立，故c≤≠0，试证明者+壶为定值，并求出这个定~／2Ⅱ一9值．寻，于是c≤导，于

7、是c的最大值为导．分析标准答案是先设点P(。，Yo)，再将直线z的方程代入椭圆方程，然后利用判别评注从阅卷情况看，几乎所有考生在式等于零得出斜率k，这种方法虽然易想，但得到m+n>后，便认为c的最大值为运算量极大，很难在短时间内奏效．若类比导数的几何意义，即利用极限思想求解，则显得÷．事实上，第(2)问考生的解答，是想用最异常简洁．值解决恒成立问题，由于m≠n，故÷不是最证明设椭圆上两点P(‰，Yo)、Q(。+小值，正因如此可得出c≤-4"，但为什么÷能’y0+Ay)删拿+_l’+(y0+Ay)=1

8、．两式相减并利用平方差公式，得取到?这里其实是确界的证明．由于中学生缺乏此概念，因此就很难利用类似数列极限的“半+(2yo+Ay)△y-0，即=占～Ⅳ”定义的思想加以构造、分析和论证．命题者的意图是“证明”，就要讲清道理，否则一．当_+0，时，得到直线z斜率按照评分标准要大量扣分．可见，本题对利用极限思想论证提出了极高的要求．一景，于是1+去二、突破思维定势，优化解题策略有些数学问题，如果采用常规方法求解，一f+X—o-—4~-1：一8，得证．0＼YoYoI不但费时费神，而且不易获解，如果采用运动、

9、变化、无限的观点，即极限思想，问题就显三、深化极限思想。发现解题结论得豁然开朗了．有些数学问题，如果用静态的、有限的眼例3在区间(0，1)内任取3个数，Y，，光去分析，就难以找到问题的答案；一旦用极限思想去探究，就很快能找到问题的结论．这证明：+十七≥．里极限思想起着某种枢纽的作用，即是认识分析本题若用比较法或分析法求解，事物及发展规律的工具．就会陷入繁琐的代数式变形而难以获证．如例5(2006年全国高考题)求正n棱锥果注意到每个分式的特征，联想到无穷递缩相邻两个侧面