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1、2010年2月绵阳师范学院学报Feb.2010第29卷第2期JournalofMianyangNormalUniversityVo.l29No.2Newtonidentities的初等证明及应用胡小平(绵阳师范学院数学与计算机科学学院,四川绵阳621000)摘要:Newtonidentities是一个在初等数学领域中非常重要的恒定式,灵活巧妙地应用Newtonidentities及推论,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。该文在对Newtonidentities及推论进行初等证明的基础上,论述了它在
2、高师院校数学学院专业课程初等数论、竞赛数学、初等代数研究选讲中的应用。关键词:Newtonidentities;证明;应用中图分类号:O122文献标识码:A文章编号:1672-612x(2010)02-0010-050引言Newtonidentities及推论的证明可以借助于初等数学中二次方程的求根理论证明,它不仅在初等数学领域中应用普遍,而且在高师院校数学专业课程初等数论、竞赛数学、初等代数研究选讲等课程中有着十分广泛的应用。1Newtonidentitiesnn2Newtonidentitie
3、s:对于数列{an},若an=Ax1+Bx2,x1、x2是方程x+px+q=0的两根,那么an=-pan-1-qan-2.22证明:由条件得:x1+px1+q=0]x1=-px1-q.22x2+px2+q=0]x2=-px1-q.n-1n-1n-2n-2故-pan-1-qan-2=-p(Ax1+Bx2)-q(Ax1+Bx2)n-2n-2n-22n-22nn=Ax1(-px1-q)+Bx2(-px2-q)=Ax1x1+Bx2x2=Ax1+Bx2即an=-pan-1-qan-2nn推论1若数列{an}
4、的通项公式an=aA+bB(AXB),那么n>2时有:an=(A+B)an-1-ABan-2.2证明:设A+B=p,AB=q,则A、B为方程x-px+q=0的两根。2即A-pA+q=0(1)2B-pB+q=0(2)nn-1n-2由(1)、(2)有:a(A-pA+qA)=0(3)nn-1n-2b(B-pB+qB)=0(4)(3)与(4)相加得:an-pan-1+qan-2=0即an=(A+B)an-1-ABan-2(n>2)用同样的推理方法,可得nnn推论2若数列{an}的通项公式an=aA+bB+
5、cC(A、B、C互不相等),那么n>2时,an=(A+B+C)an-1-(AB+BC+CA)an-2+ABCan-3.2Newtonidentities应用举例高师院校专业课程竞赛数学、初等代数研究选讲的教学中,若能补充Newtonidentities及推论的理论及应用讲授,对提高学生的创新能力及师范技能有着十分重要的作用。211求数列的递推式例1已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1.设AC=a,BC=b,收稿日期:2009-12-25作者简介:胡小平(1964-),男,副教
6、授,主要研究方向:数学课程与教学论,基础数学教育研究。第2期胡小平:Newtonidentities的初等证明及应用#11#作数列:u1=a-b22u2=a-ab+b3223u3=a-ab+ab-b,,,,kk-1k-22kkuk=a-ab+ab+,+(-1)b.求证:un=un-1+un-2(n3)证明由己知得通项:nn-1n-22nnun=a-ab+ab+,+(-1)b,而n+1n+1a-(-b)anbn=@a+@(-b),a+ba+ba+b由推论1可得:un=(a-b)@un-1-(-ab
7、)@un-2(n3),而2a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,a@b=AC@BC=CD=1故:un=un-1+un-2(n3)an+1=7an+6bn-3例2设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0,且n=0,1,2,,.bn+1=8an+7bn-4证明:an(n=0,1,2,,)是完全平方数.分析:要证an是完全平方数,需求出数列{an}的通项公式,因此需得到数列{an}的递推式。nnn证明:数列{an}的通项公式可设为:an=aA+bB+cC.由于:an+1=7an+6bn-3
8、(5)bn+1=8an+7bn-4(6)可以(5)@7-(6)@6得:7an+1-6bn+1=an+3,所以:6bn+1=7an+1-an-3.而an+2=7an+1+6bn+1-3,所以:an+2=14an+1-an-6.又an+3=14an+2-an+1-6.故:an+3=15an+2-15an+1-an(n ).A+B+C=15由推论2可知:AB+BC+CA=15,ABC=-132从而A、B、C是方程:x-15x+15x-1=0的根。所以A=1,B=7-43,C=7+43.
