立体几何中的翻折与展开问题-论文.pdf

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1、第2期林怀传：立体几何中的翻折与展开问题·13·立体几何中的翻折与展开问题●林怀传(龙泉市第一中学浙江龙泉323700)1考点回顾于是÷

2、折前后发生变摩，不慌不乱，抓不变量，紧握垂直主线．化的量及其关系和没有发生变化的量及其关系，并以此为3典例剖析出发点结合目标运用立体几何基础知识解决问题．例3如图2，在RtAABC中，／_ACB=30。，B=90。，2方法点拨D为AC的中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于点例1已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将AABD沿矩F，将AABD沿BD折起，iP~-面角ABD—C的大小为0．形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中(1)求证：面AEF上面BCD；()(2)当AB上CD时，求0的余弦值．A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直(1)证明在RtAABC中

3、，C：30。，D为AC的中点，B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直则AABD是等边三角形．又因为E是BD的中点，所以C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直BD~AE，BDj_EF．D．对任意位置，直线AC与BD，AB与CD，AD与BC均折起后，AEnEF=E，即不垂直BD上面AEF．(2012年浙江省数学高考理科试题第lO题)从而面AJ_面BCD．点拨翻折问题分为2类，其中第1类是翻折过程中图形绕固定轴翻折．这类问题比较有效的一种思考角度是考察点的运动轨迹，寻找运动中的不变量．本题答案为B．DC图2点拨本小题关键在BD上AE，BDJ_，在翻折前后的垂直关系不变．

4、图1(2)解如图3，过点A作AP上面例2如图1，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为BCD于点P，则点P在阳的延长线DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将AAFD上．设与CD相交于点Q，令AB=沿AF折起，使平面ABD上平面ABC．在平面ABD内过点D1，则AABD是边长为1的等边三角作DK_LAB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是——．形．若AB上CD，则(2009年浙江省数学高考理科试题第17题)图3BQj-CD，点拨第2类翻折问题是翻折过程中图形绕变化轴翻折，本题中AFd土在运动．解题关键是要注意到：△DF在从而雎=了j1，AE=孚j．翻折过程

5、中，始终保持AD上DF不变，这就是本题的突破又c。s／AEP=PE=丁1口．作朋上AB，由4D上DF，知AD上DR，从而AADR为直角，三角形．因此由射影定理得由／AEF=0就是二面角A—BD—C的平面角，知当AB上GDAD!=AK．AR．时，。。。：一．即，点拨求解本小题的关键是：若AB上CD，则曰Q上CD．显然1

6、)求／EOF的大小；(1)求证：BD上平面POA；(2)求二面角E—OF．A的余弦值．(2)记三棱锥P—ABD的体积为，四棱锥P—BDEF的DD体积为，且=了4，求此时线段PD的长．M(1)证明在菱形ABCD中，由BD~AC，得oBD~AO，叉EFLAC．AB于是PD上EF．图4因为平面阳FJ_平面ABFED，平面PEFn平面ABEFED=解(1)如图4，过点E作EGJ_AC，垂足为G，过点FEF，且POc平面PE，，所以PO上平面ABFED．由BDc平作FH_LAC，垂足为圩，则面ABFED，知PO上BD，又AOnPO=0，于是BD上平面EG=FH=，GH=2．POA．因为

7、二面角D-AC—B为直二面角，所以(2)解设AOnBD=H由第(1)小题知，PO上平面E=G+EC,+FH2—2EG．FHcos90。=ABFED，从而PO为三棱锥P·ABD及四棱锥P—BDEF的高，(2+()+(,／f)一0=12．于是又在AEOF中，OE=OF=2，从而=÷JS。·PO，=÷s。·PO．c。sEDF=量去=又=了4埽2十2一(2)1一=一一2×2×22’．s梯肋=÷5。=3。，于是EOF=120。．(2)过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，联结从而s眦，寺s△CBD·EM．由二面角