关于Coulson积分公式的注释-论文.pdf

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1、2014年青海师范大学学报(自然科学版)2014第1期JournalofQinghaiNormalUniversity(NaturalScience)N0．1关于Coulson积分公式的注释王春云，火博丰，胡平(青海师范大学数学系，青海西宁810008)摘要：Coulson积分公式最早是由Coulson在1940年计算一类化学分子的能量时得到的．Gutmanl970年将它推广到所有图．从那时起，这一方法逐渐成为图能量计算中一个重要的工具．我们发现Coulson积分公式在一般复多项式的情形并不正确，并注意到Outman等人曾用若

2、当引理，留数定理等复变方法对其进行了修正．本文用初等实分析的方法对这一问题做出了修正．关键词：图能量；Coulson积分公式；夹逼定理；特征多项式；矩阵中图分类号：O157．5文献标识码：A文章编号：1001—7542(2014)01—0001—041引言Coulson积分公式是图论研究当中一个重要的工具，尤其被广泛应用于求某些图的能量，该公式最早是由Coulson在1940年计算一类化学分子的能量时得到的：E(G)===一--]dr一一警型]出(1)其中G为阶简单图，(G，z)是G的(邻接矩阵的)特征多项式，(G，z)===

3、(G，z)是(G，z)的一阶导数，i一为虚数单位．随后数学研究者对该公式从各个方面进行了讨论和推广，详见参考文献[1，2，3，4，5，6]．我们注意到当．1i厂()一0时，未必有．1iIf(z)dz一0，其中，()在c上解析．事实上，即使厂()是一个关于z的多项式函数，也未必成立．我们在Coulson积分公式的证明中发现，对于实对称矩阵的特征多项式函数，甚至于不全为纯虚根的一般矩阵的特征多项式函数，当≠0时(为厂(z)的根)，，1i『nIf(z)dz==：告≠0．在我们证明该问题之初，并未查到相关资料，故按自己的方法考虑进10

4、l一LL一而得出结论，且在’∑≠0时，本论文避开了若当引理，留数引理等复变问题[7]，而是用更为初等的实函数方法进行论证，本论文讨论的是实对称矩阵的Coulson积分公式，对于更一般的特征值不全为纯虚根的矩阵，可用类似方法进行论证．2准备工作设(A，)是一般×n矩阵A的特征多项式，设(忌：1，2，⋯，)为(A，)的特征根且不全为纯虚根，令II一{：Re()>ot，Ⅱ一一{：Re(a)

5、作者简介：王春云(1989一)，女(汉族)，河北张家口人，青海师范大学数学系图论与组合优化研究生2青海师范大学学报(自然科学版)2014卑特别地，对于简单图G，设(G，z)为G的特征多项式，则其特征值(忌一1，2，⋯，扎)均为实数，且∑一0，因此E(G)一∑一∑一2∑．对于定向图G的邻接矩阵D是反对称矩阵，其特征值均为1^∈II+∈If-^∈II+纯虚数，则∑J：L一0，E(D)一2∑Im()．引理1Es设F是复平面上的简单正向闭曲线，为任意复数，由柯西积分公式可知，o=。喜引理2c。设厂()在[口，+∞)上有定义(口>O)，

6、如果存在数列{z)，{}满足对VzEV口，+oo)，当竹≤z≤+1(E)时，有X≤，(z)≤，且limx一limy=A(A为有限数)，则lim()一A．引理3设复数z—R·，其中R—jzl，0为z的辐角，为固定实数，则J导弓0===o·证明：取≤R<+1，0E[一-丌5-，要]，有11(RcosO—)iRsin0一—Rcos0+i—Rsin0-,~一二再一二再当>0时，由R。一2XRcos0+≥R一2+==：(R—)>0，所以。≤<(2)o≤<_二二丽(3)一±<<±(4)一29,(+1)+2(n+1)+下面证明：一。。≤≤d

7、O==丝±‘『2(n+1)+令z一0，Y：2!(±+12)+且limY一0，故由引理2，可得R一∞』J一{^-=一二几^C0S口1-AdO一0．Rsin0一0，limf号R。一2cos0+dO一0．R∞J一导对于<0的情况可类似证明结论成立．综上所述一。设r+是由曲线C+及组成，=R·e(一号≤04号，R>o)·A_一·i，一R

8、’／、，．一一尉’f＼图a图b当r包含(A，z)的全部正根时，r+[老一]为常数，故可将图a扩张为图b，即考虑R一∞时，[的值．定理1设(A，z)是一般×7"／矩阵A的特征多项式，设(愚一1，2，⋯，)为9(A，z)的特征根且均为实根，当R一E(A)一仁]如．证明：舞一．『舞