分数阶p-Laplacian系统两点边值问题的解-论文.pdf

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1、高校应用数学学报2014，29(3)：343—351分数阶—Laplacian系统两点边值问题的解孔祥山，李海涛(1．青岛滨海学院大专理科基础学院，山东青岛2665552．山东大学控制科学与工程学院，山东济南250061)摘要：利用Schaefer不动点定理研究了分数~p-Laplacian系统两点边值问题解的存在性，通过将系统转化为算子方程，在非线性项满足一定增长性的条件下得到了系统至少存在一个解的充分条件，并给出了相关的应用．关键词：分数~p-Laplaciang统；两点边值问题；Schaefer~动点定理中图分类号：O175．6文献

2、标识码：A文章编号：1000—4424(2014)03—0343。09§1引言分数阶微分系统广泛地存在于自然科学与工程技术的诸多领域f11，如流体力学的流变性质描述、各种材料的记忆、地震分析、分数阶PID控制、金融系统和粘弹性系统的分析等等．与整数阶微分方程相比，分数阶微分系统能够更加准确地描述自然现象，更好地模拟自然界的动态演化过程．例如，用整数阶微分方程不能描述许多复杂的热传导现象、渗透现象等，而用分数阶微分方程就能简单地予以解决．近年来，对分数阶微分系统解的存在性的研究已取得了许多优秀的成果[2-11】．作为一类重要的微分系统，p-

3、Laplacian微分方程边值问题在流体力学、天文学等领域有着重要的应用【J．因此，该问题引起了很多学者的研究兴趣．值得指出的是，现存的研究p-Laplacian微分方程边值问题的文献大多集中在整数阶微分系统【13-14】，而对于分数阶p-Laplacian微分方程边值问题的研究结果还很少【6J．在文献[61中，作者利用不动点定理研究了一类分数阶p-Laplacian微分方程反周期边值问题，得到了至少一个解的存在性判据．文献[8】研究了一类耦合分数阶p-Laplacian微分方程两点边值问题，利用叠合度理论得到了该类边值问题一个解的存在性

4、条件．在文献f91中，作者利用叠合度理论得到了一类非线性分数~'}'p-Laplacian微分方程多点边值问题解的存在性条件．本文研究如下p-Laplacian微分方程两点边值问题，^／＼J(x(t))=f(t，(t))，t∈[0，1]，⋯【x(O)=(1)，Dx(o)=叩D(1)，收稿日期：201~01．27修回日期：2014-07-09基金项目：国家自然科学基金(G61174036)344高校应用数学学报第29卷第3期其中(s)：。s，p>1，：刍+1-1j。<1,1

5、1]XR—R连续．在文献[6]的基础上，利用schaefer不动点定理来研究系统(1)解的存在性．注意到当=卵=一1时，(1)退化为文献[6】中的反周期边值问题．因此，本文的结果更具一般性，推广和改进了文献[61的结果，丰富了分数阶Laplacian系统的研究方法和结果．最后，给出一个数值例子来验证所得结果的有效性．§2预备知识本节给出分数阶微积分理论的一些基本定义和引理，详见文献[7】．定义2．1函数Y：(0，+。。)_R的阶Riemann—Liouville分数阶积分为珥)=丽1(~-ly(s)dsj其中>0，r(＆)=o。e-tt一

6、为Gamma函数．定义2．2连续函数Y：(0，+∞)一R的阶Caputo分数阶导数为咖㈤=志其中>0，礼为大于或等于的最小整数．引理2．1若>0，YE[0，1]，则存在ER，i=1，2，⋯，n，使得瑶D(t)=(￡)-4-Co-4-Clt+⋯+—it一，其中n为大于或等于的最小整数．最后给~Schaefer不动点定理．引理2．2(见[15】)令E是赋范线性空间，H：E—E是一个紧算子．若集合S：={∈EIx：AHx对于某个∈(0，1))有界，则日至少存在一个不动点．§3主要结果记c[o，1]为从[0，1】到R的全体连续函数构成~Banac

7、h空间，其中一maxIx(吼∈】．1】首先将系统(1)转化为算子方程．引理3．1对于Ec[o，1]，方程(D())=(￡)，∈[011]，(0)=(1)，．D(0)=卵D8+(1)孔祥山等：分数阶Laplacian系统两点边值问题的解345的唯一解是@)=珥(强)+))+B^@)=亓1／o(～()dT+Ah(s))ds+Bh㈤，其中删=强：1=：一1(而II—一s)-。h，(Is)ld【J。，．vVtL∈【l0IJ．j1]1，．一77)r(z)Jo“⋯”Bh(t)=1-'y珥(碾()+(t))It_1=丽1(一(／o(s)dT+Ah(s)

8、)dsjV0J1]．证由引理2．1得(D(￡))=强九(t)+c0，c0ER．由边值条件Dx(o)=叩口(1)，可知c0：氇)lt=l=Ah㈣．所以有(t)=(『+(￡)+A^))+c，c∈R