可数连续格的序同态.pdf

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1、第35卷第2期淮北师范大学学报【自然科学版)VO1．35NO．22014年6月JournalofHuaibeiNormalUniversity(NaturalScience)Jun．2014可数连续格的序同态占诗源，姜广浩(淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北235000)摘要：文章给出可数定向极小集的概念，并由此得到可数连续格序同态的一个刻画．关键词：完备格；可数定向集；可数连续格；可数定向极小集；序同态中图分类号：0153．1，O189．1文献标识码：A文章编号：2095-0691(2014)02-0007-031引言在文献[1

2、]中，Scott首次引入连续格的概念．随着研究的进一步深入，陆志军等在文献[2]中给出可数连续格的概念，并证明可数连续格与连续格有很多类似的性质．在文献[3]中，覃锋在定向极小集上得到连续格序同态的一个刻画．本文受此启发，在可数定向极小集上得到可数连续格序同态的一个刻画．2预备知识定义2．1设是一个完备格，DCL，如果对于D中的任意一个可数集C∈D，有deD，使得对于Vc∈C，c≤d，那么称D是一一个可数定向集，即D是关于可数集c是定向的．定义2．2设是一个完备格，其中0，b∈L．如果对于L中任意一个可数定向集D，b≤supD，存

3、在d∈D，a≤d，则称口可数way—belowb，记作a《b．显然《满足下列性质：(1)如果a《b，那么有a≤b；(2)如果m≤a《b≤n，那么有m《n；(3)设是一个完备格，则对于VaEL，有0《a．满足上述条件(1)、(2)、(3)的完备格L上的二元关系称作可数弱辅助序．定义2．3设是一个完备格，对于Va∈L，记a=∈LIx《a)，《称为可数逼近的，若V口∈L，asupU口．定义2．4设，都为完备格．④)为中所有的可数定向子集所构成的集合．映射L．一称为保可数定向上确界的，如果对于VD∈④(L)，都有f(sup=supf(D)

4、．定义2．5设厶，：都是完备格．映射厶一：称作序同态，如果厂是保任意上确界的且厂是保可数定向上确界的，其中厂(厶)=sup{aELif≤b}．3主要结论下文中的，L。，：都为完备格～。㈣为L中的所有的可数定向子集所构成的集合．定义3．1设￡是一个完备格，若对于VnEL，口=sup{bELIb《a}，则称￡是一个可数连续格命题3．1是一个可数连续格《是可数逼近的．收稿日期：2013—12—23基金项目：国家自然科学基金资助项目(11011001，11361028)；安徽高等学校省级自然科学研究重点项目(KJ2013A236)作者简介

5、：占诗源(1989一)，男，安徽安庆人，硕士生，主要从事一般拓扑学的研究．通讯作者：姜广浩(1973一)，男，江苏沛县人，博士副教授，主要从事一般拓扑学的研究．8淮北师范大学学报(自然科学版)2014年证明由《可数逼近和可数连续格的定义易知．命题3．2设是一个可数连续格，那么上的可数way—below关系《满足下列的插人性质：Ya，b∈L．如果0《b，则存在zEL，使得a《z《b．定义3．2映射厶一称为保《。的，如果a《b可推出，㈦《。(6)．定理3．1设厶一：，是一个可数连续格，则f是序同态甘f是保任意上确界的和保《的．证明充分

6、性．设厂是保任意上确界的和保《。的，要证．厂是序同态，只需要证厂保可数定向上确．界即可．设D∈④()且d=supD，由厂的定义可知厂是保序的，因此只需要证明厂。㈣≤supf(，任意取M《f∽，由厂保《，f(u)《。ff∽≤d=supD，则存在ED使得厂(≤，故得到Ⅱ≤∽≤supf㈣，由于《在中是逼近的，有厂(a9=sup{ueL：I《f(o0}≤supf(．必要性．设厂是序同态，只需证明是保《的．设《b，又设De④。㈣且满足(6)<~supD，则b(sup．由于厂保可数定向上确界，故有b(sup，由定义2．2知，存在xED，使得0

7、≤厂∽，从而，㈦≤．这就证明了，《f(b)．注1如果厶为可数连续格时，则厂是保可数定向上确界的§f是保《的．定义3．3设a∈L，B∈④()，B称为a的可数定向极小集，如果满足(1)supB=a；(2)当D∈回㈣且a≤supD时，对于VbEB，存在deD使得b≤d，则称为可数极小集．定理3．2设a∈L，B∈回(，则有(1)是a的可数极小集甘supB=a且Blla；(2)若a存在可数极小集，则最大可数极小集为㈨=a．证明(1)一方面，设B是a的可数极小集且设D∈回(L)，a≤supD．由定义3-3有，对于Yb∈B，存在dED使得b≤d

8、．由定义2．2有，b《a，故曰a．另一方面，设supB=a且BC_ga，又设D∈回肛)，a≤supD，V6《a，因此由定义2．2有，存在dED使得b≤d，故B是a的可数极小集．(2)若a存在可数极小集时，由(1)知a=supB≤suplla，从而a