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1、浅谈长方体性质的灵活运用浅谈长方体性质的灵活运用长方体是一种生活中到处可见的几何体，也是一种在学习过程中很早就接触的几何体。高屮阶段屮学的长方体的性质有：(1)长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和即如图Ia2+b2+c2；(2)长方体的外接圆的圆心在长方体对角线的中点。学会灵活运用它，在解决一些棱锥问题时能起到非常好的效果。一、构造长方体模型数学屮的有些问题，如果用常规法去求，将难以求出或十分繁琐，甚感困难，但如果能构造长方体去求，将会把问题化难为易，化繁为简。例1、设三棱锥的三个侧面两两
2、互相垂直，且侧棱长均为23,则其外接球的表面积为:分析：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且侧棱长均为23,以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，所以求出正方体的对角线的长为：(23)2+(23)2+(23)2=6,所以球的直径是6,半径为3,所以球的表面积为：411X32二36。例2、在三棱锥A-BCD+,侧棱AB、AC、AD两两垂直，AABC、AACD.AADB的面积分别为22、32、62,则三棱锥A-BCD的外接球的体积为；分析:设侧棱AB、AC、AD长度分别为x,y,z,/.xy=2,yz=3,xz
3、=6,/.x=2,y=l,z=3,由三侧棱两两垂直，所以三棱锥的外接球是以三侧棱为临边的长方体的外接球，球的直径是长方体的体对角线,2R二6•••R二62,V=43nR3=6n.例3、四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长和宽分别为2和1的长方形，PA丄面ABCD,PA=11,则该球的体积为・分析：四棱锥P-ABCD可看成长方体一角，球的直径即为其体对角线，所以2r二22+12+(11)2=4,故该球的体积为32兀3。例4、球0面上四点卩、A、B、C满足：PA、PB>PC两两垂直
4、，PA2+PB2+PC2二12,则球0的体积等于。分析：三棱锥是正方体的一个角，它的外接球就是三棱锥扩展为正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，所以正方体的体对角线长为：23,球的半径为：232=3；所以球的体积为：V二43nR3二43兀(3)3=43n.例5、已知四面体ABCD中，AB二CD二41,AC=BD=34,AD=BC=5,求此四面体的体积。分析：直接求体积有一定的难度，若能联想屋对棱相等的四面体可以在一个长方体中，则可把四面体补成一个长方体，如图所示，设长方体的长宽高分别为a、b、
5、c,则根据长方体的性质可得a2+b2二25b2+c2二34a2+c2二41解得a-4b=3c=5从而V四面体ABCD=V长方体-4VC-ADE二3X4X5-4X13X12X3X4X5=20例6、在四面体P-ABC中，PA、PB>PC两两垂直，M是面ABC内一点，M到三个面PAB,PBC,PCA的距离分别是2,3,6,贝UM到P的距离是。分析：由题意画出图形，M到P的距离是，图形中长方体的对角线的长，求解即可.由于PA、PB.PC两两垂直，M是面ABC内一点，作出长方体如图，M到三个面PAB,PBC,PCA
6、的距离分别是2,3,6,则M到卩的距离，就是长方体的体对角线的长：22+32+62二7。二、求长方体表面积的最值长方体的性质可以很好的与不等式结合起来运用求长方体表面积的最值。例7、如果长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点都在半径为3的球的球面上，那么该长方体表面积的最大值等于；分析:长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点都在半径为3的球的球面上,设长方体三棱长分别为a,b,c,则a2+b2+c2二36,由基本不等式，a2+b2^2ab,b2+c222bc,d2+c222ac,所以，2(ab+bc+ac
7、)W2(a2+b2+c2)二72,当且仅当a=b=c吋，该长方体表面积的最大值等于72.长方体的性质在解题中的灵活运用能给我们解决一些锥体事半功倍的效果，所以我们平时要多熟悉多积累长方体的性质在解题中的技巧。
