一阶和二阶全微分形式在求偏导数和微分方程变换中的应用

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1、一阶和二阶全微分形式在求偏导数和微分方程变换中的应用西北工业大学王红在,:《高等数学》课程的学习过程中同学们都有这样的体会通常学习和掌握课本上的,,基本知识困难并不大但要灵活运用所学的知识去分析问题和解决问题就感到困难甚至不知如何着手。因此,对某一系列问题进行归类,剖析,对某种方法、技巧着意练习,无疑对,,,。于强化所学的知识培养思维能力提高数学学习的兴趣是十分有益的,,下面介绍一系列一阶和二阶全微分形式在求偏导数和微分方程变换中的灵活应用从中我们可以明显体会到其所蕴涵的数学规律的韵味。z,,:若

2、以x和y为自变量的函数一f(xy)可微则其一阶全微分式为dz=毛dx+礼dy(l),,“,v,,,,如果xy作为中间变量又是自变量的可微函数x~x(uv)y一y(uv)则复合函z,,,v,:数一f(x(uv)y(u)是可微的其一阶全微分式为dz~毛d“+毛dy一zdx+礼dy,。因此一阶微分形式(1)具有形式不变性,,:当xy二阶全微分式为为自变量时z十z“,xy,俨d护+2毛dd+礼d少(2),,:而当xy作为中间变量时二阶全微分式为z二,r一毛d扩+Zzodxdy+礼d少十毛少x+礼少y(3)

3、,。,由此可见二阶微分形式一般不具有不变性只有在中间变量x和y的二阶微分少x~0ry,,。一。即x和y是自变量的线性函数时二阶微分式才具有形式不变性“一,。。问题1求三元函数f一合一了十2少+3扩的所有二阶偏导数,。解这个三元函数共有6个二阶偏导数一个个求出来很麻烦我们用二阶微分式可将尸)一P。)尸。去一」f(f(f(尸)一f()一!imlim拱IPPO}I’今0尸,O二,,贝”偏导数与函数f(工,,沿方向的方向导数就不等同同样与函数f(二,,沿霎一爵一oy方向的方向导数也不等同。,,,,例设之~

4、f(xy)一丫王万万在(00)点沿任何方向l~{x川的方向导数不万,,玉一」phf(念乃y)一f(0o)一m叻乙2丫八+乙少.,,,,,_~_。r0)一00)2了决}f(众f(}△l贡一即。但俪导效不lm一一和都不存在伙之}}(00)一山~o乙“一竺跳厄丁,。,顺便指出方向导数的定义不是唯一的如果我们采取不同的方向导数的定义自然便有与上述不一定相同的结论。有兴趣的读者,请参看菲赫钦哥尔兹著《微积分学教程》卷一,。飞74节第它们一下全部求出。d厂一‘(“一d·‘)一‘一音Zd·2Z·d了一一‘()一

5、一‘d寻告,uz,uz,:由于d~Zxdx+4y勿+6zd少一2少x+4矛y+6少代入上式可得“一。一,1“一。一,矛f一(3xz备一普)dx+(对备一2扔办72,“一。一d二,xy。一dxdy+18x二。一dxd二:之。一dyd二+(2备一3号十12备号+36号二.二,二z:一人d护+几声少十人d扩十2人dy+2人dxd+2几dyd二dx。比较对应项系数可得所求结果,,,,,,问题2已知f(xyz)是一可微函数并且扩一vw少一uw扩一uv求证.二+,+之一。。+w+一蔡ax’一蔡妙’一咎击一蔡玉

6、’一咎面’一孚决刃-、、,xy及z“v和证明通常的办法是将f对的偏导数用f对w的偏导数来表示然后。这里,.我们采用一阶微分形式不变性证明。将所得结果代入方程左边得到右边的形式,,,、、z,u、v、。记F~f(xyz)视xy为中间变量w为自变量则按一阶微分形式不:变性可得,dF~人dx+fydy+人dz一人du+人dy+几dw(4)““,yv,,v:zyv,当d~d~dw~w时对扩一w两边微分可得xdx~wd十dw一Zvw一2尹所。,,。。以dx一x同理办一ydz~z将上述结果代入(4)可得所证结论

7、,。由上述两问题可见使用微分形式可以使计算过程大大简化我们再用此方法来解决下面几个问题。.11,,、u,vw一Inz一(xy)“v问题3设一扩+犷-—十一+以w为新函数为新自变,量变换方程灸砒y石一x一、y一工/z.苏,.,,,。,解记w一v(uv)其中uv为中间变量而xy为自变量由上述方程当dx~,,y-一x日寸办zz二z,zd一毛dx+礼dy~y一x一(y一x)(5),zx:1x,,d,另一方面对In一w++y两边微分可得—aZ~dw+d十勿所以当x一y心-,x时“。dz~z(dw+dx+dy

8、)一z(y一x+wdu十wdy),,d“一ZXd工+Zy一Z一Z一。d?+于是由比于较、xyxy一多委。dz一(y一x)+zwd。(6)fz:。,。(5)与(6)可得W一。即一。为变换后的方程瓮读者不妨用我们这里所介绍的方法来练习处理下面问题。u,v:练习1以为新的自变量变换下列方程、玉,、击弋x十y)二二一又x一y);二一U区〔《y,,。u一,n1v一arotg其中石干7子_、、_._._.._,22。,.、一_挤挤护Z一‘~一一一,一~4,。问题址明万住尸1十艺不又二十百1~U