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1、如何判断函数的奇偶性江西省丰城市第二中学徐智强判断函数的奇偶性，关键是对函数的奇偶性的理解：首先应对函数的定义域讲行判断是否关于原点对称，若关于原点对称，贝9①f(—x)=f(x),f(x)为偶函数；②若f(—x)=—f(x),f(x)为奇函数；③若R—x)Hf(x)且f(—X)卫一f(x),f(x)既不是奇函数也不是偶函数；若不关于原点对称，既不是奇函数，也不是偶函数。下面我们通过举例来说明：例1判断函数f(x)=[+丄的奇偶性22—1解：要使函数有意义，必须2X-1#)即xHO它关于原点对称f(_x)=1+2”(2r-l)-2丄+丄=_^21-2X(1一2)2
2、f(x)=1+2"(2v-l)-2・•・f(—X)=—f(x)・•・f(x)为奇函数例2判断函数f(x)=x(丄+」_)的奇偶性22-11+2”1+T解：定义域{x
3、x^},f(-x)=-K-(12~?=X'=f(x)・・・f(x)为偶函数例3是否存在常数a,使函数f(x)=x(a+丄)是偶函数2—1解：由上面的例子可知只需h(x)=a+丄为奇函数即可2—1Ah(-x)=-h(x)=>(a4-—!—-)+(a+—^-)=0=>a=
4、例4是否存在常数a,b,使函数f(x)=x・(a+丄)是偶函数2—1解：由上面例子可知只需(a+亍吕)+(“+希)=0/•2a—b=0
5、nb=2a例5判断下列函数的奇偶性⑴f(x)=(x-l)J戶l-x⑵f(x)=1g(l—)
6、x2-2
7、-2⑶f(x)=lg(Vx2+1-X)(4)f(x)=—x~+1,兀〉0x2-l?x<0(7)f(x)=l(5)Rx)=71-x2+y/x2-}⑻f(x)=O⑹Kx)=(9)f(x)=x+解：(1)定义域卜1,1),关于原点不对称，.••既不是奇函数也不是偶函数(2)定义域为(T,O)U(O,I),斫罟十呼2Vf(-x)=也"')=f(x)X・・・f(x)为偶函数(3)定义域为R,f(—x)=lg(J十+1+x)=lg-~.1——=-lg(Vx2+1-x)=—Rx
8、)JX“+1—Xf(x)为奇函数(4)①x>OH、J,tlx)=-x2+l,则一x<0,f(-x)=(-x)2-1=x2-1=-f(x)②当xVO时,f(x)=x2-l,则一x>0,f(-x)=-(-x)2+1=-x2+1=-f(x)由①②可知f(-x)=-fi[x)(5)要使函数有意义必须]~X~°^2-1>0函数Rx)=O则fi(—x)=±f(x)都成立・・・f(x)既为奇函数也为偶函数(6)定义域(-1,1]它不关于原点对称⑺定义域为R,f(—x)=l=f(x)⑻定义域为R,fi[—x)=0,-Rx)=O・・・f(x)既是奇函数也是偶函数Rx)为奇函数-x2
9、>0.*•x=±1・••定义域为｛—1,1｝关于原点对称，此时.•-f(x)既不是奇函数也不是偶函数・・・f(x)为偶函数.•・f(_x)=±f(x)(9)定义域为R,f(-x)=x2-x,fi[-x)#-f(x)=-x2+x且M—x)#(x)・•・f(x)既不是奇函数也不是偶函数判断函数的奇偶性应先求出函数的定义域，再判断定义域是否关于原点对称，利用定义域化简函数，再判断K—X)与f(x)的关系即可。
