函数奇偶性的判断和证明.doc

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1、第07讲：函数奇偶性的判断和证明【考纲要求】结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。【基础知识】1、函数的奇偶性的定义3、判断函数的奇偶性的方法（1）定义法首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数。（2）求和判别法对于函数定义域内的任意一个x，若，则是奇函数；若，则是偶函数。（3）作差判别法对于函数定义域内任意一个x，若，则是奇函数；若，则是偶函数。（4）作商判别法对于函数定义域内任意一个x，设，若，则是奇函数，则是偶

2、函数。例1判断下列函数的奇偶性（1）（2）解：（1）（2）例2定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0①求证：f(0)=1　　　　　　　②求证：y=f(x)是偶函数证明：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0)∵f(0)≠0∴f(0)=1②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)　　　　∴f(-y)=f(y)∴y=f(x)是偶函数例3判断函数的奇偶性解：由题得函数的定义域关于原点对称。设则，设则，所以函数是奇函数。【点评】对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是

3、分段函数，所以要分类讨论。【变式演练1】判断函数的奇偶性。【变式演练2】已知函数是奇函数，是偶函数，判断函数的奇偶性。方法二求和判别法使用情景[来源:学&科&网]一般是对数函数。解答步骤对于函数定义域内的任意一个x，若，则是奇函数；若，则是偶函数。例4判断函数的奇偶性。解法1：利用定义判断，由，可知是奇函数。解法2：由x∈R，知。因为，所以是奇函数。例5判断函数的奇偶性。解：由题得，因为，所以是偶函数。【点评】作差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用作差判别法可以化繁为简，简洁高效。方法四作商判别法使用情景一般含有指数函数运算。解答步骤[来源:学

4、

5、科

6、网Z

7、X

8、X

9、K]对于函数定义域内任意一个x，设，若，则是奇函数；若，则是偶函数。[来源:Zxxk.Com][来源:学&科&网]例6证明函数是奇函数。证明：由，知且，所以定义域关于原点对称。因为，所以是奇函数。1.【2012高考真题陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A.B.C.D.【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数；B是奇函数且是减函数；C是奇函数且在，上是减函数；D中函数可化为易知是奇函数且是增函数.故选D.2..【2012高考真题辽宁理11】设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g

10、(x)=

11、xcos

12、，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为()(A)5(B)6(C)7(D)83.【2012高考真题上海理9】已知是奇函数，且，若，则。【解析】因为为奇函数，所以，所以，，所以。【反馈训练】1．函数f（x）=x(-1﹤x≦1)的奇偶性是（）A．奇函数非偶函数B．偶函数非奇函数C．奇函数且偶函数D．非奇非偶函数2.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是(）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数3.函数的图象（）A.关于原点对称B.关于直线y=x对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称6.定义在R上

13、的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。7.已知，判断f（x）的奇偶性；8.设为实数，函数，．（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值．9.已知函数的定义在上函数，对定义域内的任意都有，且当时，（1）求证：是偶函数；（2）在是增函数；（3）解不等式【变式演练详细解答】【变式演练1详细解析】由题得函数的定义域为【变式演练2详细解析】所以函数是奇函数。【反馈训练详细解答】1.D【解析】由于函数的定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数。2.A.【解析】因为所以3.D【解析】是偶函数，图像关于y轴对称4.A【解析】

14、，所以函数是一次函数且是奇函数。5.【解析】（1）由题得函数的定义域为R.（2）由题得函数的定义域为（3）由题得函数的定义域为R.8.【解析】解：（1）当时，，此时为偶函数；当时，，，∴此时函数既不是奇函数也不是偶函数．[来源:学科网ZXXK]（2）①当时，函数，若，则函数在上单调递减，∴函数在上的最小值为；综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，当，函数的最小值是．