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1、第11招如何判断函数的奇偶性？判断函数的奇偶性（有的还牵涉三介函数）是烏考屮常考的知识点，一般以选择题形式出现.解法指导与经典范例（一）判断函数奇偶性的方法1.定义法这是最常用的方法•其解法步骤如下：（1）确定函数的定义域是否是关于原点的对称区间•若不是，可判断该函数是非奇非偶函数•若是，再按下列步骤继续进行.（2）在定义域内任取x,以・x代换f（x）中的x得f（・x）.⑶依据定义得出结论.注意：（1）既是奇函数又是偶函数的断数只能是f（x）=O.（2）若奇函数f（x）在x=0处有定义，则f（0）=0.（如例6证一）【例1】函数/（X）=（*+）•).A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数
2、乂是偶函数DO非奇非偶函数解—no得-1。s1,函数f9想）的定义域为（-1,1]由于这定义域不是关于原点对称的区间.1+X【例2】判断函数/⑴=卩十（：＜0）的奇偶性+x[x＞0）解当x<0时，-x>0,/(-%)=-(-X2)+(-x)=-(x2)+x=-/(X).而当x>0时,・xvO,/./(-x)=(-x)2+(-x)=x2—x=一/(兀)/.对任意兀€（-OO,0）U（0,+8）都有/（-兀）=/（兀）,故/GO为奇函数【例3】2002.北京文三（22）B知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、be/?都满足：f（a・b）=af（h）+bf（a）.（1）求f
3、（o）＞f（i）m；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论.解（1）/（o）=/（0•0）=0•/（0）+0•/（O）=0./（1）=/（1•!）=!•/（1）+1•/（1）=2/(1),;./(1)=0.(2)f(x)是奇函数.证明如下：•・•/(1)=/[(-1)•(一1)]=-/(-•)-/(-1)=-2/(-1),W0)=0.・••/(-1)=0•又•・・/(-兀)=代-l>x)=-/(%)+#(-1)=-/(%),/./⑴是奇函数.2.利用定义的等价命题来判断/(%)+/(-%)=/⑴是奇函y(x)-/(-x)=0<=>/(兀)是偶函数或：当/⑴工0时，牛^=-lo广(兀
4、)是奇函数;牛^=lof(x)是偶函数./Wfx)注意：函数以对数形式或根式形式出现吋，可考虑用等价命题来判断.(如例6证二、证三)【例4】1986..上海理一(15)函数y=lg(x+J/+1w/?)()A.是奇函数，不是偶函数B.是偶函数，不是奇函数C.即不是奇函数，又不是偶函数D.即是奇函数又是偶函数解_岁f(-%)=lg](-%)+{(-兀尸+1=lg(Vx2+1-x)=lgM兀+]土^)L」V%2+1+x=lg——=lg(%+J*+])=-lg^x+y/x2+1)=-/(x).y=、f(x)是奇函数.a/x~+1+X应选A.解二*.*f(x)+f(—x)=lg(x+Jx?+
5、1)+lg(—X)+J(-X?+1)=lg(j%2+1+_x)(Vx2+l-x)=lgl=O,f(x)是奇函数.故选A1.若函数图象易于作出，也可利川奇偶函数的图象特征来判断/(兀)为奇函数o/(兀)的图象关于原点对称；/(兀)为偶函数。于(兀)的图象关于y轴对称.注意：有吋可根据奇、偶函数图象的对称性简化作图过程.2.利用奇、偶函数的运算性质来判断(1)奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇±偶=非奇非偶。⑵奇＞＜奇=偶，偶＞＜偶=偶,奇x偶二奇.(2、【例5]1993.全国文理一(8)F(x)=1+•/(%Xx0)2"-1丿是偶函数，H/(x)不恒等于零，贝'J/(x)().A.是奇函数B.
6、是偶函数C.可能是奇函数也可能是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数解一11+工0,/(%)=尸(啓=討•f(Q・.・f(_x)=F(X),2—1]+也Z+12X-1—1_i/(-x)=話一-•F(-X)=-■—一-•F(x)=-于⑴,则f(X)是奇函数.故选4.2~Y+1_2A+12_x-l~~2r-l2解二设g（x）=l+——（兀工0）,Tg（—兀）=1+(91+-A-二-g(Q・・・g(漩奇函数•又・・・尸(兀)=&(/)•/(兀)是偶函数，.•./&)是奇函数,选Ak2'-1丿3.山两个函数y=(u),u=g(x復合而成的复合函数，只要y=f(u)与u=g(x沖有一个是偶函数，其
7、复合函数y=/［g(x)］就是偶函数；只有内、外函数均为奇函数时，复合函数y=/［g(x)］才是奇函数.(例，见第35招例2).(二)函数奇偶性定义利性质的逆用由于函数奇偶性的定义和性质其实是充要条件，因此当已知一个函数式奇函数或偶函数吋,也可利用定义或性质来解题(如求函数解析式、函数值、参数取值等).【例6】试证函数/&)=屮+2土1的图象关于原点对称.Jl+F+x+l证一*.•71+x2>VP"二兀,而不论x〉0述是兀<0或x=0,均有
8、x
